Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 9.12.1991 Mathematisches Institut II Prof. Dr. C.-G. Schmidt Dr. W. Trinks

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Übungsblatt 9

Aufgabe 39 (5 Punkte)

(a) Zeigen Sie: Eine endliche Menge B = {a_{1}, …, a_{m}} ⊆ 𝕂^{n} ist genau dann linear unabhängig, wenn die aus den Spalten a_{1} , …,a_{m} gebildete Matrix A = (a_{1}, …, a_{m}) den Rang rg (A) = |B| hat, und genau dann linear abhängig, wenn rg (A) < |B|.

(b) Ist {3X^{2} − 2X, X^{4} − X^{3} + 3X, X^{3} − X^{2} + 2, X^{4} + X^{2} + 1} im ℝ-Vektorraum ℝ[X] linear abhängig oder unabhängig?

(c) Ist {(γ^{n})_{n∈IN} | γ ∈ ℝ} im ℝ-Vektorraum ℝIN linear abhängig oder unabhängig?

Aufgabe 40 (5 Punkte)

(a) Zeigen Sie, daß durch

Φ(( \begin{matrix}2 \\ −1 \\ 3 \end{matrix} )) = ( \begin{matrix}0 \\ −3 \\ −8 \\ 4 \end{matrix} ), Φ(( \begin{matrix}−1 \\ 0 \\ −4 \end{matrix} )) = ( \begin{matrix}1 \\ 6 \\ 3 \\ 2 \end{matrix} ), Φ(( \begin{matrix}1 \\ −2 \\ −5 \end{matrix} )) = ( \begin{matrix}5 \\ −3 \\ 8 \\ −3 \end{matrix} ), Φ(( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )) = ( \begin{matrix}−1 \\ −3 \\ 5 \\ −6 \end{matrix} )

genau eine lineare Abbildung Φ : ℝ^{3} → ℝ^{4} festgelegt ist.

(b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von Φ bezüglich der Basis \{( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} ), ( \begin{matrix}−5 \\ −3 \\ −6 \end{matrix} ), ( \begin{matrix}−1 \\ −1 \\ −1 \end{matrix} )\} des ℝ^{3}

und der Basis \{( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ −3 \\ −3 \end{matrix} ), ( \begin{matrix}−2 \\ 2 \\ 7 \\ 9 \end{matrix} ), ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ −4 \\ −6 \end{matrix} ), ( \begin{matrix}4 \\ −2 \\ −9 \\ 2 \end{matrix} )\} des ℝ^{4} .

Aufgabe 41 (6 Punkte)

(a) Seien V ein 𝕂-Vektorraum und Φ ein Endomorphismus von V mit Φ ∘ Φ = Φ.

Rechnen Sie ausführlich nach, daß V = Kern (Φ) ⊕ Bild (Φ).

(b) Sei V = C(ℝ) der ℝ-Vektorraum der stetigen Funktionen von ℝ nach ℝ und

Φ : \{ \begin{matrix}V & → & V \\ f & ↦ & (x ↦ \frac{1}{2}(f(x) + f(−x))) \end{matrix}\}.

(i) Zeigen Sie, daß Φ ∘ Φ = Φ gilt, und bestimmen Sie Kern (Φ) und Bild (Φ).

(ii) Bestimmen Sie zu f : x ↦ e^{x} ein g ∈ Kern (Φ) und ein h ∈ Bild (Φ) mit f = g + h.

(c) Seien V ein 𝕂-Vektorraum und U_{1}, U_{2} Untervektorräume von V mit U_{1} ⊕ U_{2} = V . Zeigen Sie, daß es eine lineare Abbildung Φ : V → V gibt mit Kern (Φ) = U_{1} , Bild (Φ) = U_{2} und Φ ∘ Φ = Φ.

Abgabe: Bis spätestens Montag, 16.12.1991, 13.30 Uhr in die Kästen bei Zi. 328 des Mathematikgebäudes.