Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 2.12.1991 Mathematisches Institut II Prof. Dr. C.-G. Schmidt Dr. W. Trinks

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Übungsblatt 8

Aufgabe 34 (2 Punkte) Welche der folgenden Mengen V sind ℝ-Vektorräume? (Dabei seien die Addition und die Skalarmultiplikation wie üblich koordinaten- bzw. punktweise erklärt.)

(a) die Menge der Nullfolgen V = {(α_{n})_{n∈IN} | α_{n} → 0 für n → ∞},

(b) bei festem α, β ∈ ℝ: V = {f : ℝ → ℝ | f(α) = β}.

Aufgabe 35 (5 Punkte) Sei F := ℝIN der Vektorraum aller reellen Folgen und B := {(α_{n})_{n∈IN} ∈ F | ∃γ ≥ 0 : ∀n ∈ IN : |α_{n}| ≤ γ} die Menge der beschränkten reellen Folgen. Zeigen Sie:

(a) B ist ein Untervektorraum von F.

(b) Φ : \{ \begin{matrix}F & → & F \\ (α_{n})_{n∈IN} & ↦ & (\frac{1}{n+1} ∑_{k=0}^{n} α_{k})_{n∈IN} \end{matrix}\} ist ein bijektiver Vektorraumendomorphismus von F.

(c) Φ| B ist ein injektiver, aber nicht surjektiver Vektorraumendomorphismus von B.

Aufgabe 36 (4 Punkte)

(a) Zeigen Sie, daß V := {f : ℝ → ℝ | ∃α, β ∈ ℝ : ∀x ∈ ℝ : f(x) = α · sin (x + β)} ein ℝ-Vektorraum ist, und bestimmen Sie eine Basis von V .

(b) Zeigen Sie, daß V := {f : ℝ → ℝ | ∃α, β, γ ∈ ℝ : ∀x ∈ ℝ : f(x) = α · sin (βx + γ)} kein ℝ-Vektorraum ist.

Aufgabe 37 (3 Punkte) Bei gegebener Menge M sei V := P (M), versehen mit der Addition △ (wie in Aufgabe 19).

(a) Zeigen Sie, daß es genau eine Möglichkeit gibt, eine Skalarmultiplikation · : 𝔽_{2} × V → V so zu definieren, daß V zu einem 𝔽_{2} -Vektorraum wird.

(b) Bestimmen Sie für den Fall, daß M endlich ist, eine Basis des 𝔽_{2} -Vektorraums V .

Aufgabe 38 (2 Punkte) Bestimmen Sie eine Basis des von den Polynomen p_{1}(X) = 1 + X, p_{2}(X) = 1 − X, p_{3}(X) = 1 + X^{2} , p_{4}(X) = 1 − X^{2} erzeugten Unter-ℝ-Vektorraums von ℝ[X].

Abgabe: Bis spätestens Montag, 9.12.1991, 13.30 Uhr in die Kästen bei Zi. 328 des Mathematikgebäudes.