Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 25.11.1991 Mathematisches Institut II Prof. Dr. C.-G. Schmidt Dr. W. Trinks

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Übungsblatt 7

Aufgabe 29 (4 Punkte) Bestimmen Sie für jedes α ∈ ℝ die Lösungsmenge des reellen Gleichungssystems

6ξ_{1} + 3ξ_{2} + 3ξ_{3} + 4ξ_{4} +  3ξ_{5}  +  αξ_{6}  = 1
2ξ_{1}  + ξ_{3} + 2ξ_{4}  +  ξ_{6}  = 0
2ξ_{1} + ξ_{2} + ξ_{3} + ξ_{4}  +  ξ_{6}  = 1
−4ξ_{1}  − 2ξ_{3} − 4ξ_{4} + α(α + 1)ξ_{5} −  2ξ_{6}  = α + 1
6ξ_{1} + ξ_{2} + 3ξ_{3} + 5ξ_{4}  + (α + 3)ξ_{6} = 1

Aufgabe 30 (4 Punkte) Berechnen Sie die Lösungsmenge L(A, b) des Systems Ax = b für folgende Werte von A und b:

(a) A = ( \begin{matrix}\overline{2} & \overline{1} & \overline{2} & \overline{0} & \overline{2} \\ \overline{1} & \overline{2} & \overline{0} & \overline{1} & \overline{2} \\ \overline{1} & \overline{2} & \overline{1} & \overline{1} & \overline{2} \\ \overline{2} & \overline{1} & \overline{0} & \overline{1} & \overline{0} \end{matrix} ) ∈ 𝔽_{3}^{4×5} , b = ( \overline{2} \overline{0} \overline{2} \overline{2} ) ∈ 𝔽_{3}^{4} ,

(b) A = ( \begin{matrix}2 & 1 + 2 i & 3 + i \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 + i & 2 \\ 1 & i & 0 \end{matrix} ) ∈ ℂ^{4×3} , b = ( \begin{matrix}2 − i \\ −1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) ∈ ℂ^{4} .

Aufgabe 31 (3 Punkte)

Zeigen Sie, daß die Matrix A := ( \begin{matrix}1 & 3 & 4 \\ 3 & −1 & 6 \\ −1 & 5 & 1 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{3×3} invertierbar ist, und berechnen Sie A^{−1} .

Aufgabe 32 (3 Punkte) Seien 𝕂 ein Körper und A ∈ 𝕂^{p×n}, B ∈ 𝕂^{q×n}. Zeigen Sie: Es gilt L(A, 0) ⊇ L(B, 0) genau dann, wenn es eine Matrix C ∈ 𝕂^{p×q} mit A = C · B gibt.

Aufgabe 33 (2 Punkte) Seien n ∈ IN, 𝕂 ein Körper und A ∈ 𝕂^{n×n}. Zeigen Sie:

(a) rg (A) = 0 ⇔ A = 0,

(b) rg (A) = n ⇔ rg (A^{⊤}) = n.

Abgabe: Bis spätestens Montag, 2.12.1991, 13.30 Uhr in die Kästen bei Zi. 328 des Mathematikgebäudes.