Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 18.11.1991 Mathematisches Institut II Prof. Dr. C.-G. Schmidt Dr. W. Trinks

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Übungsblatt 6

Aufgabe 25 (3 Punkte) Sei 𝕂 ein Körper und f ∈ 𝕂[X] ein Polynom mit Grad (f) = n ∈ IN. Zeigen Sie:

(a) Gilt f(α) = 0 für ein α ∈ 𝕂, so gibt es ein Polynom g ∈ 𝕂[X] mit f(X) = (X − α) · g(X).

(b) f hat in 𝕂 höchstens n Nullstellen, d.h. #{α ∈ 𝕂 | f(α) = 0} ≤ n.

Aufgabe 26 (4 Punkte) Sei 𝕂 ein Körper. Bestimmen Sie

(a) für alle α, φ ∈ 𝕂 die Lösungsmenge der Gleichung αx = φ,

(b) für alle α, β, γ, δ, φ, ψ ∈ 𝕂 die Lösungsmenge des Gleichungssystems

\begin{aligned}αx + βy & = φ , \\ γx + δy & = ψ . \end{aligned}

Aufgabe 27 (6 Punkte) Bestimmen Sie zu den folgenden Matrizen A jeweils die Treppenform T sowie eine invertierbare Matrix C mit T = CA.

(a) A = ( \begin{matrix}3 & 1 & 4 & 0 \\ −1 & −2 & 1 & 5 \\ −3 & 4 & 1 & 17 \end{matrix} ) ∈ ℚ^{3×4} ,

(b) A = ( \begin{matrix}\overline{2} & \overline{1} & \overline{2} & \overline{0} & \overline{1} \\ \overline{2} & \overline{0} & \overline{2} & \overline{1} & \overline{0} \\ \overline{1} & \overline{0} & \overline{1} & \overline{1} & \overline{1} \\ \overline{2} & \overline{2} & \overline{2} & \overline{0} & \overline{1} \end{matrix} ) ∈ 𝔽_{3}^{4×5} ,

(c) A = ( \begin{matrix}1 + 2 i & −2 + 3 i & 1 \\ −1 & 3 − i & −4 \\ 3 − i & 4 & 2 i \\ −2 i & 1 + i & 1 − 3 i \end{matrix} ) ∈ ℂ^{4×3} .

Aufgabe 28 (3 Punkte) 𝕂 sei ein Körper, A ∈ 𝕂^{m×n} und r = rg (A). Zeigen Sie, daß es Matrizen C ∈ GL_{m}(𝕂) und D ∈ GL_{n}(𝕂)

gibt, so daß CAD = ∑_{i=1}^{r} E_{ii} gilt, mit E_{ii} ∈ 𝕂^{m×n}.

Abgabe: Bis spätestens Montag, 25.11.1991, 13.30 Uhr in die Kästen bei Zi. 328 des Mathematikgebäudes.