Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 11.11.1991 Mathematisches Institut II Prof. Dr. C.-G. Schmidt Dr. W. Trinks

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Übungsblatt 5

Hinweis: Die aus jeder Formelsammlung bekannten Rechenregeln für sin und cos können ohne Beweis benutzt werden.

Aufgabe 20 (4 Punkte)

Zeigen Sie, daß durch \{ \begin{matrix}ℝ × ℝ^{2} & → & ℝ^{2} \\ (φ, (x, y)) & ↦ & (x · cos φ − y · sin φ, x · sin φ + y · cos φ) \end{matrix}\} eine Operation der Gruppe

ℝ (mit der Verknüpfung +) auf der Menge ℝ^{2} gegeben ist. Welches sind die Bahnen, und welches sind die Fixpunkte der Operation?

Aufgabe 21 (2 Punkte)

Berechnen Sie für A := ( \begin{matrix}3 & 2 \\ −2 & 4 \\ 1 & −5 \end{matrix} ) und B := ( \begin{matrix}1 & −3 & 4 \\ 2 & 1 & 2 \\ −2 & 1 & −2 \end{matrix} ) (Matrizen über ℤ) diejenigen der Ma-

trixprodukte AA, AB, BA, BB, die definiert sind.

Aufgabe 22 (4 Punkte) Seien n ∈ IN und R ein Ring mit 1.

(a) Für k, l ∈ \{1, …, n\} sei E_{kl} := (δ_{ik} · δ_{jl})_{\begin{matrix}i=1,...,n \\ j=1,...,n \end{matrix}} definiert. Beschreiben Sie in Worten, wie für beliebiges

A ∈ R^{n×n} die Produkte E_{kl} · A und A · E_{kl} aus A entstehen.

(b) Sei n > 0 und F := ∑_{j=1}^{n−1} E_{j+1,j} = ( \begin{matrix}0 & 0 & … & … & 0 \\ 1 & 0 & ... & & ⋮ \\ 0 & 1 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ... & 0 \\ 0 & … & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) ∈ R^{n×n}. Beschreiben Sie in Worten, wie

für beliebiges A ∈ R^{n×n} die Produkte F · A und A · F aus A entstehen, und berechnen Sie für alle k ∈ IN die Potenz F^{k}.

Aufgabe 23 (3 Punkte) Sei n ∈ IN. Zeigen Sie, daß die Abbildung P : S_{n} → ℤ^{n×n}, die einer Permutation σ ∈ S_{n} die Permutationsmatrix P (σ) := (δ_{i,σ(j)})_{\begin{matrix}i=1,...,n \\ j=1,...,n \end{matrix}} zuordnet, folgende Eigenschaften hat:

(a) P (σ ∘ τ) = P (σ) · P (τ) für alle σ, τ ∈ S_{n},

(b) P (σ^{−1}) = P (σ)^{⊤} für alle σ ∈ S_{n},

(c) P ist ein injektiver Homomorphismus von S_{n} in GL_{n}(ℤ).

Aufgabe 24 (3 Punkte)

Zeigen Sie: \{A ∈ ℝ^{2×2} | A^{⊤} · A = I\} = \{( \begin{matrix}cos φ & −sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix} ) | φ ∈ ℝ\} ∪ \{( \begin{matrix}cos φ & sin φ \\ sin φ & −cos φ \end{matrix} ) | φ ∈ ℝ\}.

Abgabe: Bis spätestens Montag, 18.11.1991, 13.30 Uhr in die Kästen bei Zi. 328 des Mathematikgebäudes.