Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 4.11.1991 Mathematisches Institut II Prof. Dr. C.-G. Schmidt Dr. W. Trinks

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Übungsblatt 4

Aufgabe 15 (4 Punkte) Auf C := ℝ × ℝ sei durch (x_{1}, x_{2}) ⊕ (y_{1}, y_{2}) := (x_{1} + y_{1}, x_{2} + y_{2}) eine Verknüpfung definiert.

(a) Zeigen Sie: (C, ⊕) ist eine abelsche Gruppe.

(b) Welche der folgenden Mengen M sind Untergruppen von C? (i) M = {(x_{1}, x_{2}) ∈ C | x_{1} = x_{2}}, (ii) M = {(x_{1}, x_{2}) ∈ C | x_{1} + x_{2} ≥ 0}, (iii) M = {(x_{1}, x_{2}) ∈ C | x_{1}, x_{2} ∈ ℤ, 2x_{1} + 3x_{2} = 0}, (iv) M = {(x_{1}, x_{2}) ∈ C | 2x_{1} + 3x_{2} = 1}.

Aufgabe 16 (2 Punkte)

Sei (C, ⊕) wie in Aufgabe 15 definiert. Zeigen Sie, daß die Abbildung π : \{ \begin{matrix}C & → & ℝ \\ (x_{1}, x_{2}) & ↦ & x_{1} + x_{2} \end{matrix}\} ein Homo-

morphismus von (C, ⊕) nach (ℝ, +) ist, und bestimmen Sie Kern (π) und Bild (π).

Aufgabe 17 (5 Punkte) G = {p, q, r, s, t, u} sei eine Gruppe mit folgender Verknüpfungstafel (in Zeile x, Spalte y stehe xy):

p q r s t u
p p q r s t u
q q r p t u s
r r p q u s t
s s u t p r q
t t s u q p r
u u t s r q p

(a) Bestimmen Sie für alle x ∈ G die von x erzeugte Untergruppe ⟨x⟩.

(b) Bestimmen Sie alle Untergruppen von G.

(c) Welche der Untergruppen von G sind Normalteiler?

(d) Zeigen Sie, daß es keinen Isomorphismus von G nach Z_{6} gibt.

(e) Bestimmen Sie einen Isomorphismus von G nach S_{3} .

Aufgabe 18 (3 Punkte) Sei C := ℝ × ℝ, versehen mit der Addition (x_{1}, x_{2}) ⊕ (y_{1}, y_{2}) := (x_{1} + y_{1}, x_{2} + y_{2}) aus Aufgabe 15 und der Multiplikation (x_{1}, x_{2}) ⊙ (y_{1}, y_{2}) := (x_{1}y_{1} − x_{2}y_{2}, x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1}). Zeigen Sie, daß (C, ⊕, ⊙) ein kommutativer Ring mit 1 ist.

Aufgabe 19 (2 Punkte) Sei M eine Menge. Zeigen Sie, daß (P (M), △ , ∩) (mit A △ B := (A ∪ B) \ (A ∩ B) wie in Aufgabe 5) ein kommutativer Ring mit 1 ist.

Abgabe: Bis spätestens Montag, 11.11.1991, 13.30 Uhr in die Kästen bei Zi. 328 des Mathematikgebäudes.