Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 28.10.1991 Mathematisches Institut II Prof. Dr. C.-G. Schmidt Dr. W. Trinks

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Übungsblatt 3

Aufgabe 11 (4 Punkte) Seien n ∈ IN und A_{1}, …, A_{n} endliche Mengen. |M| = #(M) bezeichne die Mächtigkeit einer Menge M. Zeigen Sie

|⋃_{i=1}^{n} A_{i}| = ∑_{{I⊆\{1,...,n\} \atop I≠ O /}} (−1)^{|I|+1} · |⋂_{i∈I} A_{i}|

oder (was äquivalent ist, da die rechten Seiten gleich sind)

|⋃_{i=1}^{n} A_{i}| = \begin{matrix}∑_{1≤i_{1}≤n} |A_{i_{1}}| − ∑_{1≤i_{1}<i_{2}≤n} |A_{i_{1}} ∩ A_{i_{2}}| + − ⋯ + \\ + (−1)^{n} · ∑_{1≤i_{1}<i_{2}<···<i_{n−1}≤n} |A_{i_{1}} ∩ ⋯ ∩ A_{i_{n−1}} | + (−1)^{n+1} · |A_{1} ∩ ⋯ ∩ A_{n}| \end{matrix}

Aufgabe 12 (4 Punkte) Zeigen Sie, daß die Abbildungen f_{i} : ℝ \ {0, 1} → ℝ \ {0, 1} (i ∈ {1, …, 6}), gegeben durch

f_{1}(x) = x, f_{2}(x) = 1 − x, f_{3}(x) = \frac{1}{x}, f_{4}(x) = \frac{1}{1−x}, f_{5}(x) = \frac{x−1}{x}, f_{6}(x) = \frac{x}{x−1} ,

bijektiv sind und die Menge {f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}, f_{5}, f_{6}} mit der Komposition als Verknüpfung eine Gruppe bildet.

Aufgabe 13 (4 Punkte) Sei G eine Menge mit einer Verknüpfung, die den folgenden Bedingungen genüge:

(i) Es gibt ein e ∈ G mit ∀x ∈ G : ex = x. (ii) Für alle x, y ∈ G gibt es genau ein u ∈ G mit ux = y und genau ein v ∈ G mit xv = y. (iii) Für alle u, v ∈ G mit uv = e gilt ∀x, y ∈ G : (xu)(vy) = xy. Zeigen Sie, daß dann G eine Gruppe ist. Hinweis: Sie kommen zum Ziel, wenn Sie nacheinander beweisen:

(a) ∀x ∈ G : xe = x.

(b) Zu jedem x ∈ G gibt es genau ein x^{−1} ∈ G mit xx^{−1} = x^{−1}x = e.

(c) ∀x, y ∈ G : (xy)y^{−1} = x.

(d) ∀x, y, z ∈ G : x(yz) = (xy)z.

Aufgabe 14 (4 Punkte)

Sei G eine abelsche Gruppe mit n Elementen. Zeigen Sie, daß für alle x ∈ G gilt: x^{n} [:= \underbrace{x ⋯ x}_{n Faktoren}] = e.

Abgabe: Bis spätestens Montag, 4.11.1991, 13.30 Uhr in die Kästen bei Zi. 328 des Mathematikgebäudes.