Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 21.10.1991 Mathematisches Institut II Prof. Dr. C.-G. Schmidt Dr. W. Trinks

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Übungsblatt 2

Aufgabe 6 (3 Punkte) Seien M_{0}, M_{1}, M_{2}, … Mengen. Zeigen Sie:

⋃_{n=0}^{∞} ⋂_{k=n}^{∞} M_{k} ⊆ ⋂_{n=0}^{∞} ⋃_{k=n}^{∞} M_{k}

(Hinweis: Machen Sie sich die Aussagen x ∈ ⋃_{n=0}^{∞} ⋂_{k=n}^{∞} M_{k} und x ∈ ⋂_{n=0}^{∞} ⋃_{k=n}^{∞} M_{k} klar.)

Aufgabe 7 (4 Punkte) Sei f : A → B eine Abbildung. Zeigen Sie:

(a) ∀X ⊆ A : f^{−1}(f(X)) ⊇ X,

(b) f injektiv ⇔ ∀X ⊆ A : f^{−1}(f(X)) = X,

(c) ∀Y ⊆ B : f(f^{−1}(Y)) = Y ∩ f(A) ⊆ Y ,

(d) f surjektiv ⇔ ∀Y ⊆ B : f(f^{−1}(Y)) = Y ,

(e) ∀X_{1}, X_{2} ⊆ A : f(X_{1} ∪ X_{2}) = f(X_{1}) ∪ f(X_{2}),

(f) ∀Y_{1}, Y_{2} ⊆ B : f^{−1}(Y_{1} ∪ Y_{2}) = f^{−1}(Y_{1}) ∪ f^{−1}(Y_{2}),

(g) ∀X_{1}, X_{2} ⊆ A : f(X_{1} ∩ X_{2}) ⊆ f(X_{1}) ∩ f(X_{2}),

(h) f injektiv ⇔ ∀X_{1}, X_{2} ⊆ A : f(X_{1} ∩ X_{2}) = f(X_{1}) ∩ f(X_{2}).

Aufgabe 8 (3 Punkte) Sei I eine Indexmenge und (f_{i})_{i∈I} eine Familie von Abbildungen f_{i} : A_{i} → B_{i}, und für alle i, j ∈ I gelte f_{i}| A_{i} ∩ A_{j} = f_{j}| A_{i} ∩ A_{j}. Zeigen Sie:

(a) Sei A := ⋃_{i∈I} A_{i} und B := ⋃_{i∈I} B_{i} gesetzt.

Dann gibt es genau eine Abbildung f : A → B mit ∀i ∈ I : ∀x ∈ A_{i} : f(x) = f_{i}(x).

(b) Sind alle f_{i} surjektiv, so ist f surjektiv.

(c) Ist f injektiv, so sind alle f_{i} injektiv.

Aufgabe 9 (3 Punkte) Zeigen Sie:

(a) ∀n ∈ IN : ∑_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2} ,

(b) ∀n ∈ IN : ∑_{k=1}^{n} k^{3} = (\frac{n(n + 1)}{2})^{2} .

Aufgabe 10 (3 Punkte) A(n) bezeichne eine von einer ganzen Zahl n abhängige Aussage. Welche der folgenden Varianten des Induktionsprinzips sind gültig? (Bitte geben Sie einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an!)

(a) Mit festem m ∈ ℤ:

Aus A(m) und ∀n ∈ ℤ mit n ≥ m : A(n) ⇒ A(n + 1) folgt ∀n ∈ ℤ mit n ≥ m : A(n).

(b) Aus ∀n ∈ IN : ((∀k ∈ IN, k < n : A(k)) ⇒ A(n)) folgt ∀n ∈ IN : A(n).

(c) Aus A(0) und ∀n ∈ IN : A(n) ⇒ A(n + 2) folgt ∀n ∈ IN : A(n).

Abgabe: Bis spätestens Montag, 28.10.1991, 13.30 Uhr in die Kästen bei Zi. 328 des Mathematikgebäudes.