Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 3.2.1992 Mathematisches Institut II Prof. Dr. C.-G. Schmidt Dr. W. Trinks

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Übungsblatt 14

Aufgabe 61 (6 Punkte) Sei V ein endlichdimensionaler 𝕂-Vektorraum und Φ ∈ End (V). Zeigen Sie, daß die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(a) Φ ist diagonalisierbar (d.h. V ist direkte Summe der Eigenräume von Φ).

(b) Es gibt eine Basis von V , die aus Eigenvektoren von Φ besteht.

(c) Es gibt eine Basis B von V , so daß die Darstellungsmatrix D_{BB}(Φ) von Φ bezüglich B Diagonalgestalt hat.

(d) Die Jordan-Normalform von Φ hat Diagonalgestalt.

(e) ∑_{λ∈Spec (Φ)} dim E_{λ}(Φ) = dim V .

(f) Das charakteristische Polynom f_{Φ}(T) von Φ hat die Gestalt f_{Φ}(T) = (T − λ_{1})^{r_{1}} ⋯ (T − λ_{k})^{r_{k}} mit r_{1}, …, r_{k} ∈ IN \ {0} und paarweise verschiedenen λ_{1}, …, λ_{k} ∈ 𝕂, und für alle i ∈ {1, …, k} gilt rg (Φ − λ_{i} · id_{V}) = dim V − r_{i}.

(g) Das charakteristische Polynom f_{Φ}(T) von Φ hat die Gestalt f_{Φ}(T) = (T − λ_{1})^{r_{1}} ⋯ (T − λ_{k})^{r_{k}} mit r_{1}, …, r_{k} ∈ IN \ {0} und paarweise verschiedenen λ_{1}, …, λ_{k} ∈ 𝕂, und für alle λ ∈ Spec (Φ) gilt dim E_{λ}(Φ) = dim H_{λ}(Φ).

(h) Das Minimalpolynom h_{Φ}(T) von Φ hat die Gestalt h_{Φ}(T) = (T − λ_{1}) ⋯ (T − λ_{k}) mit paarweise verschiedenen λ_{1}, …, λ_{k} ∈ 𝕂.

Aufgabe 62 (4 Punkte)

Sei A = ( \begin{matrix}4 & 2 & −2 & − i \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & 4 & −2 & −2 i \\ i & i & − i & 0 \end{matrix} ) ∈ ℂ^{4×4} .

(a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom f_{A}(T) und das Minimalpolynom h_{A}(T).

(b) Zeigen Sie, daß A diagonalisierbar ist, und berechnen Sie eine Matrix S ∈ GL_{4}(ℂ), so daß S^{−1}AS Diagonalgestalt hat.

Aufgabe 63 (6 Punkte)

Sei A = ( \begin{matrix}−1 & 0 & −4 & 4 \\ −1 & −1 & −2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 \\ −1 & 0 & 0 & −2 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{4×4} . Bestimmen Sie:

(a) die (reellen) Eigenwerte Spec (A) ⊆ ℝ und zu jedem λ ∈ Spec (A) den Eigenraum E_{λ}(A) und den Hauptraum H_{λ}(A),

(b) die Jordan-Normalform J von A,

(c) das Minimalpolynom von A,

(d) eine Matrix S ∈ GL_{4}(ℝ) mit J = S^{−1}AS.

Abgabe: Bis spätestens Montag, 10.2.1992, 13.30 Uhr in die Kästen bei Zi. 328 des Mathematikgebäudes.