Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 20.1.1992 Mathematisches Institut II Prof. Dr. C.-G. Schmidt Dr. W. Trinks

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Übungsblatt 12

Aufgabe 53 (4 Punkte) Sei V ein endlichdimensionaler 𝕂-Vektorraum, Φ ein Endomorphismus von V und x ∈ V . Zeigen Sie:

(a) Es gibt ein n ∈ IN, so daß x, Φ(x), …, Φ^{n−1}(x) linear unabhängig, aber x, Φ(x), …, Φ^{n}(x) linear abhängig sind.

(b) Sind λ_{0}, …, λ_{n} ∈ 𝕂 mit λ_{0} · x + λ_{1} · Φ(x) + ⋯ + λ_{n} · Φ^{n}(x) = 0 und λ_{n} ≠ 0, so ist das Polynom p(T) := λ_{0} + λ_{1} · T + ⋯ + λ_{n} · T^{n} ein Teiler des charakteristischen Polynoms f_{Φ}(T).

Aufgabe 54 (4 Punkte) Sei n ∈ IN \ \{0\} und Z_{n} = ℤ/nℤ = \{\overline{0}, \overline{1}, …, \overline{n − 1}\}.

(a) Zeigen Sie, daß durch f(\overline{x}) := ggT (x, n) eine Funktion f : Z_{n} → IN definiert ist. Sei Z^{n} /∼ die Partition bezüglich der auf Z_{n} definierten Äquivalenzrelation \overline{x} ∼ \overline{y} :⇔ f(\overline{x}) = f(\overline{y}).

(b) Geben Sie Z^{12} /∼ explizit an.

(c) Zeigen Sie, daß die auf Z_{n} definierte Äquivalenzrelation \overline{x} ≈ \overline{y} :⇔ ⟨\overline{x}⟩ = ⟨\overline{y}⟩ dieselbe Partition von Z_{n} wie ∼ liefert.

Aufgabe 55 (5 Punkte) Es seien 𝕂 ein Körper, n ∈ IN und M := 𝕂^{n+1} \ {0}. In M sei durch x ∼ y : ⇔ ∃λ ∈ 𝕂 : x = λy eine Relation ∼ definiert.

(a) Weisen Sie nach, daß ∼ eine Äquivalenzrelation ist. Nun sei ℙ^{n}(𝕂) := M /∼ die Quotientenmenge und p : M → ℙ^{n}(𝕂) die kanonische Abbildung.

(b) Zeigen Sie, daß j : \{ \begin{matrix}𝕂^{n} & → & ℙ^{n}(𝕂) \\ (x_{1}, …, x_{n}) & ↦ & p((x_{1}, …, x_{n}, 1)) \end{matrix}\} eine injektive Abbildung ist, und geben Sie für

n > 0 eine Bijektion zwischen ℙ^{n}(𝕂) \ j(𝕂^{n}) und ℙ^{n−1}(𝕂) an.

(c) Berechnen Sie #ℙ^{n}(𝔽_{q}), wobei q eine Primzahl sei.

(d) Zeigen Sie, daß jede Matrix A ∈ GL_{n+1}(𝕂), aufgefaßt als Abbildung Φ : \{ \begin{matrix}M & → & M \\ x & ↦ & Ax \end{matrix}\}, eine Abbildung

\overline{Φ} : ℙ^{n}(𝕂) → ℙ^{n}(𝕂) ”induziert“ (d.h. es soll \overline{Φ} ∘ p = p ∘ Φ gelten).

Aufgabe 56 (3 Punkte)

(a) Berechnen Sie den ggT der Polynome f(T) = T^{7} − T^{5} − T^{3} − \overline{2}T und g(T) = T^{4} + \overline{1} im Polynomring 𝔽_{5}[T]. Bestimmen Sie auch Polynome u(T), v(T) ∈ 𝔽_{5}[T], für die u · f + v · g = ggT (f, g) gilt.

(b) Bestimmen Sie die Inverse 4321^{−1} von 4321 ∈ 𝔽_{11113} .

Abgabe: Bis spätestens Montag, 27.1.1992, 13.30 Uhr in die Kästen bei Zi. 328 des Mathematikgebäudes.