Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 13.1.1992 Mathematisches Institut II Prof. Dr. C.-G. Schmidt Dr. W. Trinks

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Übungsblatt 11

Aufgabe 49 (4 Punkte) Bestimmen Sie für alle α ∈ ℂ das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume

der Matrix A = ( \begin{matrix}26α − 19 & 6 & 26 & 52α − 20 \\ −33α + 12 & −5 & −33 & −66α − 3 \\ 16α − 9 & 3 & 15 & 32α − 7 \\ −13α + 9 & −3 & −13 & −26α + 9 \end{matrix} ) ∈ ℂ^{4×4} .

Aufgabe 50 (5 Punkte) Seien 𝕂 ein Körper, n ∈ IN und α_{0}, …, α_{n−1}, β ∈ 𝕂. Bestimmen Sie die Determinante, das charakteristische Polynom, die Adjunkte und, wenn existent, die

Inverse der Matrix A = ( \begin{matrix}β & 0 & … & 0 & α_{0} \\ 1 & ... & ... & ⋮ & ⋮ \\ 0 & ... & ... & 0 & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & β & α_{n−2} \\ 0 & … & 0 & 1 & β + α_{n−1} \end{matrix} ) ∈ 𝕂^{n×n}.

Aufgabe 51 (5 Punkte) Sei 𝕂 ein Körper.

(a) V sei ein endlichdimensionaler 𝕂-Vektorraum und direkte Summe von n Unterräumen: V = U_{1} ⊕ … ⊕ U_{n}, und zu jedem U_{i} sei ein Endomorphismus Φ_{i} ∈ End (U_{i}) gegeben.

Dann ist Ψ : \{ \begin{matrix}V & → & V \\ u_{1} + ⋯ + u_{n} (mit jeweils u_{i} ∈ U_{i}) & ↦ & Φ_{1}(u_{1}) + ⋯ + Φ_{n}(u_{n}) \end{matrix}\} ein Endomorphismus

von V . Zeigen Sie, daß det (Ψ) = det (Φ_{1}) · . . . · det (Φ_{n}).

(b) Seien V = 𝕂^{m×n} und C ∈ 𝕂^{m×m}. Zeigen Sie, daß die Linksmultiplikation mit C, Φ : \{ \begin{matrix}V & → & V \\ A & ↦ & CA \end{matrix}\},

die Determinante det (Φ) = det (C)^{n} hat.

(Hinweis: Betrachten Sie allgemeiner bei gegebenen C_{1}, …, C_{n} ∈ 𝕂^{m×m} die Determinante der Abbil-

dung Φ : \{ \begin{matrix}V & → & V \\ (a_{1}, …, a_{n}) & ↦ & (C_{1}a_{1}, …, C_{n}a_{n}) \end{matrix}\}, die in einer m × n-Matrix jeweils die i-te Spalte von

links mit C_{i} multipliziert.)

(c) Seien V = 𝕂^{m×n} und C ∈ 𝕂^{n×n}. Zeigen Sie, daß die Rechtsmultiplikation mit C, Φ : \{ \begin{matrix}V & → & V \\ A & ↦ & AC \end{matrix}\},

die Determinante det (Φ) = det (C)^{m} hat.

(d) Seien V = 𝕂^{n×n} und C ∈ GL_{n}(𝕂). Zeigen Sie, daß die Konjugation mit C, Φ : \{ \begin{matrix}V & → & V \\ A & ↦ & CAC^{−1} \end{matrix}\}, die Determinante det (Φ) = 1 hat.

Aufgabe 52 (2 Punkte)

Ist es möglich, a_{1}, a_{2}, a_{3} so zu wählen, daß sowohl A = ( \begin{matrix}5 & 4 & a_{1} \\ 2 & 1 & a_{2} \\ 1 & 2 & a_{3} \end{matrix} ) als auch A^{−1} in ℤ^{3×3} liegen?

Abgabe: Bis spätestens Montag, 20.1.1992, 13.30 Uhr in die Kästen bei Zi. 328 des Mathematikgebäudes.