Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 20.12.1991 Mathematisches Institut II Prof. Dr. C.-G. Schmidt Dr. W. Trinks

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Übungsblatt 10

Aufgabe 42 (7 Punkte) Sei

(a) V = C^{∞}(ℝ_{>0} → ℂ) der ℂ-Vektorraum der beliebig oft stetig differenzierbaren Funktionen von ℝ_{>0}

nach ℂ und Φ : \{ \begin{matrix}V & → & V \\ f & ↦ & (x ↦ x · f′(x)) \end{matrix}\}, bzw.

(b) V = ℂ[X] und Φ : \{ \begin{matrix}V & → & V \\ f & ↦ & X · f′ \end{matrix}\} (wobei f′ die formale Ableitung von f bezeichne).

Behandeln Sie in beiden Fällen:

(i) Zeigen Sie, daß Φ ein ℂ-Vektorraum-Homomorphismus ist. (ii) Bestimmen Sie Spec (Φ) und für jeden Eigenwert λ ∈ Spec (Φ) den Eigenraum E_{λ}(Φ). (iii) Ist ∑_{λ∈Spec (Φ)} E_{λ}(Φ) = V ?

Aufgabe 43 (3 Punkte)

(a) Berechnen Sie das Signum der Permutationen σ = (5, 9, 3, 6, 1, 8, 2, 10, 4, 7) ∈ S_{10} und τ = (n, n − 1, …, 2, 1) ∈ S_{n}.

(b) Zeigen Sie: ∀σ ∈ S_{n} : sign (σ) = ∏_{1≤i<j≤n} \frac{σ(j) − σ(i)}{j − i}.

Aufgabe 44 (6 Punkte)

(a) Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen:

(i) A = ( \begin{matrix}0 & −2 & 2 & 5 \\ −2 & −1 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & −1 & 1 \\ 1 & 0 & −6 & −6 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{4×4} ,

(ii) A = ( \begin{matrix}3 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 4 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & 2 \\ 5 & 2 & 6 & 1 \end{matrix} ) ∈ 𝔽_{7}^{4×4} ,

(iii) für x ∈ ℝ: A = ( \begin{matrix}1 + x^{2} & x & 0 & … & 0 \\ x & 1 + x^{2} & ... & ... & ⋮ \\ 0 & ... & ... & ... & 0 \\ ⋮ & ... & ... & 1 + x^{2} & x \\ 0 & … & 0 & x & 1 + x^{2} \end{matrix} ) ∈ ℝ^{n×n}.

(b) Bestimmen Sie alle α ∈ ℂ, für die die Matrix ( \begin{matrix}1 − i & α & i \\ i − α & 1 − α & α − i \\ 1 − α & 1 & 2 + α \end{matrix} ) ∈ ℂ^{3×3} invertierbar ist.

Aufgabe 45 (4 Punkte) Sei 𝕂 ein Körper und A ∈ 𝕂^{m×n}. Für r ∈ IN, I ⊆ {1, …, m} mit #I = r und J ⊆ {1, …, n} mit #J = r heißt die Zahl det (A_{IJ}) (d.h., wenn man I = {i_{1} < ⋯ < i_{r}} und J = {j_{1} < ⋯ < j_{r}} ausschreibt, die Zahl det (a_{i_{k},j_{l}})_{\begin{matrix}k=1,...,r \\ l=1,...,r \end{matrix}} ) r-reihiger Minor von A. Zeigen Sie:

(a) rg (A) ≥ r ⇔ A hat einen r-reihiger Minor ≠ 0,

(b) rg (A) = max {r ∈ IN | A hat einen r-reihiger Minor ≠ 0}.

Abgabe: Bis spätestens Montag, 13.1.1992, 13.30 Uhr in die Kästen bei Zi. 328 des Mathematikgebäudes.

Die folgenden Aufgaben stehen zur freiwilligen Bearbeitung frei. Wer sie bearbeitet, kann die angegebenen Punktezahlen erreichen; wer sie nicht bearbeitet, verliert aber nichts dadurch.

Aufgabe 46 (6 Punkte) Sei 𝕂 ein Körper, A ∈ 𝕂^{n×n} und A^{#} die Adjunkte von A. Zeigen Sie:

(a) rg (A^{#}) = \{ \begin{matrix}n & falls rg (A) = n \\ 1 & falls rg (A) = n − 1 > 0 \\ 0 & falls rg (A) ≤ max (n − 2, 0) \end{matrix} \},

(b) det (A^{#}) = (det A)^{n−1} ,

(c) (A^{#})^{#} = (det A)^{n−2} · A, außer wenn n = 1 und A = ( 0 ).

Aufgabe 47 (10 Punkte) Für n ∈ IN und σ ∈ S_{n} sei l(σ) das n-Tupel (l_{1}(σ), …, l_{n}(σ)), wobei l_{i}(σ) := #{j ∈ {1, …, n} | j > i, σ(j) < σ(i)}. l(σ) heißt Lehmer-Code von σ.

(a) Bestimmen Sie den Lehmer-Code von σ = (1 2 4 6 5 3) ∈ S_{6} .

(b) Wie kann man bei gegebenem l(σ) wieder auf σ zurückschließen? Zeigen Sie, daß l eine Bijektion l : S_{n} → {0, …, n − 1} × {0, …, n − 2} × ⋯ × {0, 1} × {0} ist.

(c) Sei τ = (k k + 1) eine Transposition Benachbarter. Zeigen Sie, daß l(σ ∘ τ) aus l(σ) folgendermaßen hervorgeht:

l(σ ∘ τ) = \{ \begin{matrix}(l_{1}(σ), …, l_{k−1}(σ), l_{k+1}(σ) + 1, l_{k}(σ), l_{k+2}(σ), …, l_{n}(σ)) & falls σ(k) < σ(k + 1) \\ (l_{1}(σ), …, l_{k−1}(σ), l_{k+1}(σ), l_{k}(σ) − 1, l_{k+2}(σ), …, l_{n}(σ)) & falls σ(k) > σ(k + 1) \end{matrix} \}.

(d) Zeigen Sie, daß die Fehlstandszahl f(σ) = ∑_{i=1}^{n} l_{i}(σ) sich beim Übergang von σ zu σ ∘ τ um genau 1

ändert.

(e) Zeigen Sie, daß f(σ) die kleinstmögliche Anzahl von Faktoren ist, die auftreten, wenn man σ als Produkt von Transpositionen Benachbarter darstellt.

(f) Für welches σ ∈ S_{n} wird f(σ) maximal?

(g) Zeigen Sie, daß d(σ, τ) := f(σ^{−1} ∘ τ) (σ, τ ∈ S_{n}) folgende Eigenschaften hat: (i) d(σ, τ) ≥ 0, (ii) d(σ, τ) = 0 ⇔ σ = τ, (iii) d(σ, τ) = d(τ, σ), (iv) d(σ, τ) ≤ d(σ, ρ) + d(ρ, τ). So eine Funktion heißt Abstandsfunktion.

Aufgabe 48 (3 Punkte)

Sei 𝕂 ein Körper und x_{0}, …, x_{n} ∈ 𝕂. Für m ∈ IN sei s_{m} := ∑_{k=0}^{n} x_{k}^{m} ihre m-te Potenzsumme. Zeigen Sie:

det (s_{i+j})_{\begin{matrix}i=0,...,n \\ j=0,...,n \end{matrix}} = ∏_{0≤i<j≤n} (x_{j} − x_{i})^{2} .

Freiwillige Abgabe: Bis Montag, 13.1.1992, 13.30 Uhr in die Kästen bei Zi. 328 des Mathematikgebäudes.