Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 26.6.1992 Mathematisches Institut II Prof. Dr. F. Herrlich

Funktionentheorie I

Übungsblatt 9

Aufgabe 34 (5 Punkte) Es sei G ein Gebiet. Zeigen Sie, daß jede der nachfolgenden Bedingungen die nächste impliziert: (a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇒ (d) ⇒ (e) ⇒ (f).

(a) Es gibt einen Homömorphismus f : 𝔻 → G.

(b) π_{1}(G, z) = {0} für alle z ∈ G.

(c) Für alle geschlossenen Wege γ in G und alle z ∈ ℂ \ G gilt n(γ, z) = 0.

(d) Für alle geschlossenen Wege γ in G und alle in G holomorphen Funktionen f gilt

∫_{γ} f(z) dz = 0.

(e) Jede in G holomorphe Funktion f hat eine in G holomorphe Stammfunktion.

(f) Jede in G holomorphe und nullstellenfreie Funktion f besitzt einen in G holomorphen Logarithmus.

Zitieren Sie bitte genau, welche Sätze Sie benutzen!

Aufgabe 35 (3 Punkte) Für x, y ∈ ℝ \ ℤ mit x < y und für r > 0 sei γ der (positive durchlaufene) Rand des

Rechtecks \{z ∈ ℂ : x ≤ Re z ≤ y, |Im z| ≤ r\}. Bestimmen Sie ∫_{γ} \frac{dz}{sin πz} .

Aufgabe 36 (3 Punkte) Bestimmen Sie das Holomorphiegebiet der folgenden Funktionen, und geben Sie an, von welcher Art die auftretenden Singularitäten sind:

(a) \frac{1}{1 − e^{z}} + \frac{2z}{z^{2} + 4π^{2}} ,

(b) sin \frac{1}{z},

(c) \frac{1}{sin \frac{1}{z}} .

Aufgabe 37 (3 Punkte) Sei f(z) = e^{1/z} + \frac{1}{z+1} . Bestimmen Sie die Art der Singularitäten von f, und berechnen Sie für n ∈ ℤ und 0 < r < 1

\frac{1}{2π i} ∫_{∂K_{r}(0)} \frac{f(z)}{z^{n+1}} dz

Aufgabe 38 (3 Punkte) Zeigen Sie: Ist f eine nichtkonstante rationale Funktion, so ist e^{f} keine rationale Funktion.

Abgabe: Bis spätestens Freitag, 3.7.1992, 13.30 Uhr in den Kasten bei Zi. 328 des Mathematikgebäudes.

Hinweis: Bei diesem Übungsblatt können pro Abgabe nur maximal drei der fünf Aufgaben korrigiert und gewertet werden.