Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 19.6.1992 Mathematisches Institut II Prof. Dr. F. Herrlich

Funktionentheorie I

Übungsblatt 8

Aufgabe 30 (3 Punkte)

Zeigen Sie, daß jede geschlossene Kurve γ : [0, 1] → ℂ̂ in ℂ̂ nullhomotop ist. (Vorsicht: γ kann eine ”flächenfüllende“ Kurve mit Tr γ = ℂ̂ sein!)

Aufgabe 31 (5=4+1 Punkte) Es sei G = ℂ \ {−1, 1} und H = ⟨a, b⟩ die freie Gruppe in zwei Erzeugern a und b. (Das ist die Gruppe aller Wörter in a, b, a^{−1} , b^{−1} wie z.B. aaaaba^{−1}a^{−1} = a^{4}ba^{−2} , die sich nicht ”offensichtlich“ vereinfachen lassen. Bei der Multiplikation sind ”offensichtliche“ Vereinfachungen durchzuführen, z.B. a^{4}ba^{−2} · a^{2}b^{2}a = a^{4}b^{3}a. Das leere Wort ist das Einselement.) Ferner sei L die Lemniskate mit den Brennpunkten −1 und 1 (d.h. L = {z ∈ ℂ : |z^{2} − 1| = 1}) und α bzw. β die Homotopieklasse des Weges, der auf L von 0 bis 0 entgegen dem Uhrzeigersinn um 1 bzw. um −1 läuft. Durch φ : a^{i}b^{j}a^{k} … ↦ α^{i}β^{j}α^{k} … ist ein Gruppenhomomorphismus φ : H → π_{1}(G, 0) definiert. (Das ist eine Eigenschaft der freien Gruppe.)

(a) Zeigen Sie, daß φ surjektiv ist. (Hinweis: Geben Sie dazu eine stetige Abbildung f : G → L mit f(z) = z für alle z ∈ L an.)

(b) Bestimmen Sie die Umlaufzahl n(α^{3}β^{−2}αβ^{3}, 1).

Aufgabe 32 (4 Punkte)

Es seien G_{1}, G_{2} ⊂ ℂ̂ Gebiete und f : G_{1} → G_{2} ein Homöomorphismus (d.h. f bijektiv und f und die Umkehrabbildung f^{−1} beide stetig). Ferner seien z_{1} ∈ G_{1} und z_{2} = f(z_{1}). Zeigen Sie, daß π_{1}(G_{1}, z_{1}) und π_{1}(G_{2}, z_{2}) isomorph sind. (Man nennt π_{1} daher eine ”topologische Invariante“.)

Aufgabe 33 (4 Punkte) Welche der folgenden Gebiete G sind einfach zusammenhängend?

(a) G = {z ∈ ℂ : |z| > 1} \ {e^{(1+ i )t} + e^{i t} : t ∈ ℝ},

(b) G = {z ∈ ℂ : |z| < 2} \ {z ∈ ℂ : |z| = 1, Im z ≤ 0},

(c) G = ℂ \ (\{t ∈ ℝ : |t| ≥ 1\} ∪ \{\frac{1}{sin t+ \frac{i}{t}} : t ∈ ℝ, |t| ≥ 1\}),

(d) G = ℂ^{∗} \ ⋃_{n=1}^{∞} \overline{K_{\frac{1}{3n^{2}}} (\frac{1}{n})}.

Abgabe: Bis spätestens Freitag, 26.6.1992, 13.30 Uhr in den Kasten bei Zi. 328 des Mathematikgebäudes.

Hinweis: Auch bei diesem Übungsblatt können pro Abgabe nur maximal zwei Aufgaben korrigiert und gewertet werden.