Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 5.6.1992 Mathematisches Institut II Prof. Dr. F. Herrlich

Funktionentheorie I

Übungsblatt 6

Aufgabe 22 (3 Punkte) Es seien f und g zwei ganze Funktionen, und es gebe eine Konstante K ≥ 0 mit |f(z)| ≤ K · |g(z)| für alle z ∈ ℂ. Zeigen Sie, daß es eine Konstante C ∈ ℂ gibt mit f(z) = C · g(z) für alle z ∈ ℂ.

Aufgabe 23 (4 Punkte) Sei f ein Polynom vom Grad n, und für |z| < 1 gelte |f(z)| ≤ M. Zeigen Sie, daß für |z| ≥ 1 gilt |f(z)| ≤ M · |z|^{n}.

Aufgabe 24 (4 Punkte)

(a) Seien f_{m} (m ∈ IN) holomorph in einer offenen Menge U, und f = ∑_{m=1}^{∞} f_{m}

sei in U lokal gleichmäßig konvergent. Zeigen Sie, daß man die Potenzreihenentwicklungen von f um jedes z_{0} ∈ U gliedweise berechnen kann:

Ist f_{m}(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{mn}(z − z_{0})^{n}, so ist f(z) = ∑_{n=0}^{∞} ( ∑_{m=1}^{∞} a_{mn})(z − z_{0})^{n}.

(b) Zeigen Sie, daß ∑_{n=0}^{∞} \frac{z}{2^{n} − z} = ∑_{n=1}^{∞} \frac{z^{n}}{1 − 2^{−n}} für |z| < 1.

Aufgabe 25 (5 Punkte)

Es sei Γ(z) = ∫_{0}^{∞}e^{−t}t^{z−1} dt (was aufzufassen ist als lim_{0<r<R ; {r→0 \atop R→∞}} ∫_{r}^{R} e^{−t}t^{z−1} dt).

Zeigen Sie, daß für Re z > 0 das Integral konvergiert, Γ(z) holomorph ist und die

Ableitungen gegeben sind durch Γ^{(n)}(z) = ∫_{0}^{∞}e^{−t}(ln t)^{n}t^{z−1} dt.

Abgabe: Bis spätestens Freitag, 12.6.1992, 13.30 Uhr in den Kasten bei Zi. 328 des Mathematikgebäudes.

Hinweis: Wegen mangelnder Korrekturkapazitäten können ab diesem Übungsblatt pro Abgabe nur maximal zwei Aufgaben korrigiert und gewertet werden. Es ist also zwecklos, mehr als zwei Aufgaben abzugeben. Die Maximalpunktzahl für dieses Übungsblatt beträgt 9 Punkte. Die geänderte Punkteskala wird bei der Scheinvergabe entsprechend berücksichtigt werden.