Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 29.5.1992 Mathematisches Institut II Prof. Dr. F. Herrlich

Funktionentheorie I

Übungsblatt 5

Aufgabe 17 (3 Punkte) Für a > 0 sei γ der (in positivem Sinn durchlaufene) Rand des Kreises K_{2a}(0). Berechnen Sie die Integrale

(a) ∫_{γ} \frac{e^{z}}{z^{2} + a^{2}} dz,

(b) ∫_{γ} \frac{ze^{z}}{(z − a)^{3}} dz.

Aufgabe 18 (3 Punkte)

Sei f holomorph auf einem Gebiet G, f ≠ 0. Zeigen Sie, daß für alle z_{0} ∈ G der Grenzwert lim_{z→z_{0}} \frac{f′(z)·(z−z_{0})}{f(z)}

existiert und eine nichtnegative ganze Zahl ist.

Aufgabe 19 (4 Punkte) Für eine in ℂ holomorphe Funktion f und r ≥ 0 sei M(r, f) = max_{|z|=r} |f(z)|. Zeigen Sie:

(a) M(r, f) ist als Funktion von r stetig.

(b) M(r, f) ist als Funktion von r monoton wachsend.

(c) Für 0 ≤ r < R gilt für die n-te Ableitung: M(r, f^{(n)}) ≤ n! · \frac{R}{(R−r)^{n+1}} · M(R, f).

Aufgabe 20 (2 Punkte) Gibt es eine in der Umgebung des Nullpunktes holomorphe Funktion f mit

(a) f(\frac{1}{n}) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{n+1} & falls n ungerade \\ \frac{1}{n} & falls n gerade \end{matrix} \} für alle n, bzw.

(b) f(\frac{1}{n}) = \frac{n}{n+1} für alle n?

Aufgabe 21 (4 Punkte) Es sei f eine in ℂ holomorphe Funktion. Zu jedem Punkt z_{0} ∈ ℂ gebe es in der Potenzreihenentwicklung

f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − z_{0})^{n} von f um den Punkt z_{0} einen Koeffizienten a_{n}, der = 0 ist. Zeigen Sie, daß f

dann ein Polynom ist.

Abgabe: Bis spätestens Freitag, 5.6.1992, 13.30 Uhr in den Kasten bei Zi. 328 des Mathematikgebäudes.