Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 22.5.1992 Mathematisches Institut II Prof. Dr. F. Herrlich

Funktionentheorie I

Übungsblatt 4

Aufgabe 14 (5=2+3 Punkte)

(a) Es sei γ der in positivem Sinn durchlaufene Rand des Halbrings {z ∈ ℂ : 1 < |z| < 2, Im z < 0}.

Berechnen Sie ∫_{γ} \frac{\overline{z}}{z} dz.

(b) Berechnen Sie ∫_{γ} (Im z) dz für

(i) den Weg γ(t) = t + i t^{α} (t ∈ [0, 1]) in Abhängigkeit von α > 0, (ii) den Streckenzug von 0 über 1 nach 1 + i , (iii) den Streckenzug von 0 über i nach 1 + i .

Aufgabe 15 (6=2+2+2 Punkte)

(a) Seien X ein metrischer Raum, I eine nichtleere Indexmenge, und zu jedem i ∈ I eine zusammenhängende Menge M_{i} ⊂ X gegeben. Ferner sei ⋂_{i∈I} M_{i} ≠ O / . Zeigen Sie, daß ⋃_{i∈I} M_{i} zusammenhängend

ist.

(b) Sei X ein metrischer Raum und M ⊂ X zusammenhängend. Zeigen Sie, daß der Abschluß \overline{M} (d.i. die kleinste abgeschlossene Menge, die M enthält) ebenfalls zusammenhängend ist.

(c) Es sei E = {exp ((1 + i )t) + exp ( i t) : t ∈ ℝ} und S^{1} = {z ∈ ℂ : |z| = 1}. Skizzieren Sie E, und zeigen Sie, daß E ∪ S^{1} zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend ist.

Aufgabe 16 (5 Punkte)

Integrieren Sie f(z) = \frac{exp ( i z)}{z} über den Rand des Halbringes \{z ∈ ℂ : 0 < r ≤ |z| ≤ R, Im z ≥ 0\} und folgern Sie durch geeigneten Grenzübergang

∫_{0}^{∞} \frac{sin x}{x} dx = \frac{π}{2}

(Hinweise: Finden Sie ein den Halbring enthaltendes sternförmiges Gebiet, auf dem f holomorph ist. Schreiben Sie f als f(z) = \frac{1}{z} + g(z), wobei g eine um 0 in eine Potenzreihe entwickelbare Funktion ist.)

Abgabe: Bis spätestens Freitag, 29.5.1992, 13.30 Uhr in den Kasten bei Zi. 328 des Mathematikgebäudes.