Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 15.5.1992 Mathematisches Institut II Prof. Dr. F. Herrlich

Funktionentheorie I

Übungsblatt 3

Aufgabe 9 (3 Punkte) Es sei G ⊂ ℂ offen. Zeigen Sie, daß jedes in G lokal in Potenzreihe entwickelbare f : G → ℂ mit

(a) Im f = const bzw.

(b) |f| = const bzw.

(c) \overline{f} holomorph überall in G lokal konstant ist.

Aufgabe 10 (5=1+1+3 Punkte)

(a) Zeigen Sie, daß für alle z, w ∈ ℂ gilt exp (z + w) = exp (z) · exp (w).

(b) Es seien sin z = s(z) und cos z = c(z) aus Aufgabe 7. Zeigen Sie:

sin z = \frac{exp ( i z)−exp (− i z)}{2 i} und cos z = \frac{exp ( i z)+exp (− i z)}{2} für alle z ∈ ℂ, und

sin (z + w) = sin z · cos w + cos z · sin w und cos (z + w) = cos z · cos w − sin z · sin w für alle z, w ∈ ℂ.

(c) Sei G = \{z ∈ ℂ : −\frac{π}{2} < Re z < \frac{π}{2} \} und f(z) = sin z. Zeigen Sie, daß f auf G injektiv ist, und bestimmen Sie f(G).

Aufgabe 11 (4 Punkte) Sei f eine in einem Kreis K_{r}(0) konvergente Potenzreihe, und für alle z ∈ K_{r}(0) gelte |f(z)| ≤ |z|. Zeigen Sie:

(a) Falls es ein z_{0} ∈ K_{r}(0) \ {0} mit |f(z_{0})| = |z_{0}| gibt, so gilt |f(z)| = |z| für alle z. (Hinweis: Betrachten Sie \frac{f(z)}{z}.)

(b) Anderfalls konvergiert die n-fache Iterierte f_{n} := \underbrace{f ∘ ⋯ ∘ f}_{n-mal f} für n → ∞ auf K_{r}(0) lokal gleichmäßig

gegen 0.

Aufgabe 12 (4 Punkte) Zeigen Sie, daß G_{1} = {z ∈ ℂ : −π < Im z < π} durch f(z) = exp (z) bijektiv auf G_{2} = ℂ \ ℝ_{≤0} abgebildet wird, die Umkehrfunktion Log z := f^{−1}(z) in G_{2} holomorph und lokal in Potenzreihe entwickelbar ist, und bestimmen Sie die Potenzreihenentwickelung von Log z um jedes z_{0} ∈ G_{2} .

* Aufgabe 13 (4 Punkte)

Sei f(z) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{a_{n}}{n!} z^{n} ∈ ℂ⟨z⟩ eine konvergente Potenzreihe und g(z) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{b_{n}}{n!} z^{n} ∈ ℂ⟨z⟩ ihre Umkehrfunk-

tion. Finden Sie eine geschlossene Formel (nicht Rekursionsformel), die die b_{n} mit Hilfe der a_{n} ausdrückt.

Abgabe: Bis spätestens Freitag, 22.5.1992, 13.30 Uhr in den Kasten bei Zi. 328 des Mathematikgebäudes.

Hinweis: Mit einem Sternchen gekennzeichnete Aufgaben sind etwas anspruchsvoller. Deren Bearbeitung ist optional: darin erreichte Punkte werden Ihnen angerechnet, zur erreichbaren Gesamtpunktzahl zählt die Aufgabe jedoch nicht mit.