Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 8.5.1992 Mathematisches Institut II Prof. Dr. F. Herrlich

Funktionentheorie I

Übungsblatt 2

Aufgabe 5 (5 Punkte)

(a) Es seien F, G ∈ ℂ[ ; [T] ; ] formale Potenzreihen. Zeigen Sie:

(i) (F + G)′ = F′ + G′, (ii) (F · G)′ = F′ · G + F · G′.

(b) Für eine formale Potenzreihe F = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}T^{n} ∈ ℂ[ ; [T] ; ] sei exp (F) := ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}F^{n}. Zeigen Sie:

(i) Das ist eine wohldefinierte formale Potenzreihe.

(ii) G = exp (F) ist das einzige G ∈ ℂ[ ; [T] ; ] der Form G = 1 + ∑_{n=1}^{∞} b_{n}T^{n} mit G′ = F′ · G.

(iii) Es gibt genau ein F mit exp (F) = 1 + T. Bestimmen Sie dieses F.

Aufgabe 6 (4 Punkte) Es seien U ⊂ ℂ offen und f_{n}, f : U → ℂ Funktionen. Zeigen Sie, daß die folgenden Definitionen für ”f_{n} → f lokal gleichmäßig“ äquivalent sind:

(i) Zu jedem z ∈ U gibt es eine Umgebung V ⊂ U von z, so daß f_{n} → f gleichmäßig auf V . (ii) Zu jedem z ∈ U gibt es ein r > 0, so daß f_{n} → f gleichmäßig auf K_{r}(z). (iii) Für jede kompakte Menge K ⊂ U strebt f_{n} → f gleichmäßig auf K. (iv) Es gibt eine Funktion N : ℝ_{>0} × ℝ_{>0} × ℝ_{>0} → IN, so daß für alle R > 0, r > 0, ε > 0 und für alle

n > N(R, r, ε) und alle z ∈ K_{R}(0) mit K_{r}(z) ⊂ U gilt |f_{n}(z) − f(z)| < ε.

Aufgabe 7 (3 Punkte) Bestimmen Sie Potenzreihen c(z), s(z) ∈ ℂ⟨z⟩ mit der Eigenschaft, daß für alle reellen z im jeweiligen Konvergenzbereich gilt c(z) = cos z und s(z) = sin z. Bestimmen Sie ferner den Konvergenzbereich von c und s, und zeigen Sie, daß im gemeinsamen Konvergenzbereich gilt c(z) + i s(z) = exp ( i z) und c(z)^{2} + s(z)^{2} = 1.

Aufgabe 8 (4 Punkte)

Seien f_{n} = ∑_{m=0}^{∞} a_{nm}z^{m} (n ∈ IN) und f = ∑_{m=0}^{∞} a_{m}z^{m} Potenzreihen in ℂ⟨z⟩ mit Konvergenzradius ρ_{n} = r(f_{n})

bzw. ρ = r(f), und f_{n} strebe koeffizientenweise gegen f (d.h. lim_{n→∞} a_{nm} = a_{m} für alle m).

(a) Zeigen Sie unter der zusätzlichen Voraussetzung |a_{nm}| ≤ \frac{γ}{δ^{m}} mit γ > 0, δ > 0 (so daß ρ_{n} ≥ δ): (i) f_{n}(z) → f(z) lokal gleichmäßig in K_{δ}(0). (ii) Für jede Folge (z_{n}) mit |z_{n}| < ρ_{n} und z_{n} → 0 gilt lim_{n→∞} f_{n}(z_{n}) = f(0).

(b) Finden Sie solche f_{n} und eine Folge (z_{n}) mit |z_{n}| < ρ_{n} und z_{n} → 0, so daß lim_{n→∞} f_{n}(z_{n}) existiert, aber ≠ f(0) ist.

(Hinweis: Wählen Sie z.B. f_{n}(z) = \frac{1}{n!} \frac{1}{1 − nz} .)

Abgabe: Bis spätestens Freitag, 15.5.1992, 13.30 Uhr in den Kasten bei Zi. 328 des Mathematikgebäudes.