Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 3.7.1992 Mathematisches Institut II Prof. Dr. F. Herrlich

Funktionentheorie I

Übungsblatt 10

Aufgabe 39 (4 Punkte) Es sei G ein einfach zusammenhängendes Gebiet und f auf G meromorph. Zeigen Sie, daß f genau dann ein auf G meromorphes Exponentialintegral (d.i. ein g mit f = \frac{g′}{g} ; man wünscht sich g = exp (∫ f)) besitzt, wenn alle Pole von f von erster Ordnung und alle Residuen von f ganzzahlig sind.

Aufgabe 40 (4 Punkte) Für n ∈ ℤ sei J_{n}(z) der Koeffizient von w^{n} in der Laurent-Enwicklung der Funktion exp (\frac{z}{2}(w − \frac{1}{w} )). Zeigen Sie:

(a) J_{n}(z) = \frac{1}{π} ∫_{0}^{π} cos (z · sin t − n · t) dt,

(b) J_{n} ist eine ganze Funktion,

(c) J_{n} genügt der Differentialgleichung z^{2} · y′′ + z · y′ + (z^{2} − n^{2}) · y = 0.

Aufgabe 41 (3 Punkte) Zeigen Sie für a ∈ ℂ mit |a| < 1 und n ∈ ℤ:

∫_{0}^{π} \frac{cos nx}{1 − 2acos x + a^{2}} dx = \frac{πa^{|n|}}{1 − a^{2}}

Aufgabe 42 (5 Punkte)

(a) Es sei R eine rationale Funktion ohne Pole in ℤ mit lim_{z→∞} zR(z) = 0. Zeigen Sie:

∑_{k=−∞}^{∞} R(k) = −∑_{a∈ℂ} πcot πa · res_{a} (R(z))

(Hinweis: Integration von R(z) · πcot πz über den Rand des Quadrats \{z ∈ ℂ : max (|Re z|, |Im z|) ≤ n + \frac{1}{2}\}.)

(b) Finden Sie geschlossene Formeln für ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2} + a^{2}} und ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{4}} .

Abgabe: Bis spätestens Montag, 13.7.1992, 13.30 Uhr in den Kasten bei Zi. 328 des Mathematikgebäudes.

Hinweis: Bei diesem Übungsblatt können wieder alle vier Aufgaben bearbeitet werden!