Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 28.4.1992 Mathematisches Institut II Prof. Dr. F. Herrlich

Funktionentheorie I

Übungsblatt 1

Aufgabe 1 (4 Punkte) Charakterisieren Sie geometrisch (Skizze) die folgenden Mengen komplexer Zahlen:

(a) M = \{z ∈ ℂ : Im \frac{z − z_{1}}{z − z_{2}} = 0\} mit z_{1}, z_{2} ∈ ℂ,

(b) M = {z ∈ ℂ : (1 − i ) · z^{2} − (7 + 7 i ) · z − (28 − 10 i ) = 0},

(c) M = {z ∈ ℂ : |z − 1| < |z + 1|},

(d) M = {z ∈ ℂ : Re (az) = c} mit a ∈ S^{1} , c ∈ ℝ.

Aufgabe 2 (4 Punkte) Die komplexe Zahlenebene wird durch

φ : \{ \begin{matrix}ℂ & → & ℝ^{3} \\ x + i y & ↦ & (\frac{x}{x^{2} + y^{2} + 1}, \frac{y}{x^{2} + y^{2} + 1}, \frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1}) \end{matrix}\}

bijektiv auf die Kugel ohne Punkt

\{(ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}) ∈ ℝ^{3} : ξ_{1}^{2} + ξ_{2}^{2} + (ξ_{3} − \frac{1}{2})^{2} = (\frac{1}{2})^{2}\} \ \{(0, 0, 0)\}

abgebildet. Der chordale Abstand von z, w ∈ ℂ ist definiert als Länge der Kugelsehne zwischen φ(z) und

φ(w) : χ(z, w) := \begin{matrix}| \\ | & φ(z) − φ(w) & | \\ | \end{matrix}_{2} . Zeigen Sie:

χ(z, w) = \frac{|z − w|}{\sqrt{1 + |z|^{2}} · \sqrt{1 + |w|^{2}}}

Aufgabe 3 (4 Punkte) Es sei U ⊂ ℂ offen. Zeigen Sie:

(a) Sind f, g in U holomorph, so auch f + g, und es gilt (f + g)′ = f′ + g′.

(b) Sind f, g in U holomorph, so auch f · g, und es gilt (f · g)′ = f′ · g + f · g′.

(c) Ist f in U holomorph und hat f in U keine Nullstelle, so ist \frac{1}{f} in U holomorph,

und es gilt (\frac{1}{f} )′ = −\frac{f′}{f^{2}} .

Aufgabe 4 (4 Punkte) Sei

(a) u(x, y) = 3x^{2}y − y^{3} bzw.

(b) u(x, y) = e^{x}cos y. Zeigen Sie, daß u in ℂ harmonisch ist, und bestimmen Sie eine in ℂ holomorphe Funktion f mit Re f = u.

Abgabe: Bis spätestens Freitag, 8.5.1992, 13.30 Uhr in den Kasten bei Zi. 328 des Mathematikgebäudes.

Hinweise zum Übungsbetrieb: Jeden Freitag wird ein neues Übungsblatt ausgegeben, sowohl in der Übung als auch durch Auslage vor Zimmer 308 des Mathematikgebäudes. Sie haben eine Woche Zeit zur Bearbeitung: Abgabe bis Freitag, 13.30 Uhr, in o.g. Kasten. Nach Korrektur durch Tutoren können Sie Ihre Lösungen auf dem Tisch vor Zimmer 308 des Mathematikgebäudes abholen. Von der erreichten Gesamtpunktzahl hängt die Vergabe eines Übungsscheins ab.