Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 21.6.1990 Mathematisches Institut II Prof. Dr. H.-W. Leopoldt

Elementare Zahlentheorie — Übungsblatt 9

Aufgabe 41 (3=1+1+1 Punkte)

Zu einer Potenzreihe f(T) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}T^{n} ∈ Q_{p}[[T]] sei R_{f} = \frac{1}{lim sup_{n→∞} \sqrt[n]{|a_{n}|_{p}}} ∈ [0, ∞]. Zeigen Sie:

(a) f(x) ist für x ∈ Q_{p}, |x|_{p} < R_{f} konvergent.

(b) f(x) ist für x ∈ Q_{p}, |x|_{p} > R_{f} divergent.

(c) f(x) ist für x ∈ Q_{p}, |x|_{p} = R_{f} < ∞ genau dann konvergent, wenn lim_{n→∞} |a_{n}|_{p} · R_{f}^{n} = 0. Der Konvergenzbereich Konv (f) von f ist also entweder = {x ∈ Q_{p} : |x|_{p} < R_{f}} oder = {x ∈ Q_{p} : |x|_{p} ≤ R_{f}}.

Aufgabe 42 (4=1+1+2 Punkte) Zeigen Sie (ausführlicher als in der Vorlesung):

(a) f(x) = exp(x) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{n!} ⟹ R_{f} = p^{− \frac{1}{p−1}} ,

(b) f(x) = log(1 + x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} x^{n} ⟹ R_{f} = 1,

(c) f(x) = (1 + x)^{s} = ∑_{n=0}^{∞} \binom{s}{n}x^{n} mit s ∈ ZZ_{p} ⟹ R_{f} = \{ \begin{matrix}1 & für s ∉ IN_{0} \\ ∞ & für s ∈ IN_{0} \end{matrix} \}.

Aufgabe 43 (7=4+3 Punkte)

(a) Für eine Abbildung f : a_{0} + a_{1}ZZ_{p} → Q_{p} mit a_{0} ∈ Q_{p}, a_{1} ∈ Q_{p}^{×} gebe es b_{0} ∈ Q_{p}, b_{1} ∈ Q_{p}^{×} mit

|f(a_{0}) − b_{0}|_{p} ≤ |b_{1}|_{p}

und für alle x ∈ a_{0} + a_{1}ZZ_{p} und h ∈ a_{1}ZZ_{p} \ {0}:

|\frac{f(x + h) − f(x)}{h} − \frac{b_{1}}{a_{1}} |_{p} ≤ \frac{1}{p}|\frac{b_{1}}{a_{1}} |_{p} .

Zeigen Sie:

f bildet a_{0} + a_{1}ZZ_{p} bijektiv auf b_{0} + b_{1}ZZ_{p} ab, und f und seine Umkehrabbildung f^{−1} sind stetig.

(b) Finden Sie geeignete a_{0} , a_{1} , b_{0} , b_{1} mit größtmöglichem |a_{1}|_{p} für die Exponentialfunktion exp(x) =

∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{n!} .

Aufgabe 44 (3 Punkte)

Zeigen Sie: Für |x|_{p} < 1 gilt log(1 + x) = lim_{{s∈ZZ_{p}\\{0\} \atop s→0}} \frac{(1 + x)^{s} − 1}{s}.

Aufgabe 45 (5 Punkte)

Sei f eine stetige Funktion f : ZZ_{p} → Q_{p}, also f(x) = ∑_{n=0}^{∞} c_{n}\binom{x}{n} mit einer Nullfolge (c_{n}). Zeigen Sie:

(a) In x ∈ ZZ_{p} ist f genau dann differenzierbar, wenn für c_{n}(x) := ∑_{m=0}^{∞} c_{n+m}\binom{x}{m} gilt lim_{n→∞} \frac{c_{n}(x)}{n} = 0.

(b) In diesem Falle ist f′(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} c_{n}(x).

Abgabe: Bis spätestens Donnerstag, 28.6.1990, 15.30 Uhr in den Kasten bei Zi. 308 des Mathematikgebäudes oder in der Übung im Hörsaal Hauptbau.