Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 15.6.1990 Mathematisches Institut II Prof. Dr. H.-W. Leopoldt

Elementare Zahlentheorie — Übungsblatt 8

Aufgabe 35 (4 Punkte)

Jedes x ∈ ZZ_{p} hat eine eindeutige Darstellung x = ∑_{ν=0}^{∞} a_{ν}p^{ν} mit a_{ν} ∈ {0, 1, …, p − 1} für alle ν. Diese

Darstellung (oder auch die Folge a_{0}, a_{1}, a_{2}, …) heißt p-adische Normalreihe von x. Man kann Normalreihen genauso addieren, subtrahieren, multiplizieren wie reelle Zahlen ∈ [0, 1) im Ziffernsystem der Basis p, nur daß die Überträge nach rechts statt nach links gehen. Berechnen Sie die p-adische Normalreihe von

(a) −1 ∈ ZZ_{p},

(b) −\frac{2}{3} ∈ ZZ_{5} ,

(c) \frac{3}{8} ∈ ZZ_{7} ,

(d) −\frac{13}{2} ∈ ZZ_{3} ,

(e) −\frac{1}{6} ∈ ZZ_{7} ,

(f) \frac{1}{10} ∈ ZZ_{11} ,

(g) −\frac{9}{16} ∈ ZZ_{13} ,

(h) \frac{1}{1−p} ∈ ZZ_{p}.

Aufgabe 36 (2 Punkte) Sei ν ∈ IN_{0} und p ∈ IP. Zeigen Sie:

(a) Die Reihe ∑_{n=0}^{∞} n^{ν}p^{n} konvergiert in ZZ_{p}.

(b) Ihr Wert ist eine rationale Zahl.

Aufgabe 37 (3 Punkte) Wieviele Nullstellen hat das Polynom f(T) = T^{7} − 7T + 3 in ZZ_{3} ? Berechnen Sie eine der Nullstellen mit einer Genauigkeit von 3^{−14} .

Aufgabe 38 (2 Punkte) Sei p Primzahl und n ∈ ZZ, m ∈ ZZ mit p |̸ m. Zeigen Sie: Die Menge n + m · IN_{0} liegt dicht in ZZ_{p}.

Aufgabe 39 (6 Punkte) Zeigen Sie:

(a) Für x_{1}, …, x_{n} ∈ Q_{p} gilt |x_{1} + … + x_{n}|_{p} ≤ max (|x_{1}|_{p}, …, |x_{n}|_{p}). Wann gilt Gleichheit?

(b) Für x, y ∈ ZZ_{p} mit |x − y|_{p} < 1 gilt |x^{p} − y^{p}|_{p} ≤ \frac{1}{p} · |x − y|_{p}. Wann gilt Gleichheit?

(c) Für x ∈ ZZ_{p} ist die Folge (x^{p^{n}})_{n∈IN} in ZZ_{p} konvergent, und es gilt

lim_{n→∞} x^{p^{n}} = \{ \begin{matrix}ω(x) & für x ∈ ZZ_{p}^{×} \\ 0 & für x ∈ p ZZ_{p} \end{matrix} .

Aufgabe 40 (3 Punkte) Für s ∈ IN_{0} und N ∈ IN_{0} gilt

(a) ∑_{n=1}^{N} n^{s} = ∑_{k=0}^{s} \frac{s!}{k! (s − k + 1)!} · (−1)^{k} · B_{k} · N^{s−k+1}

(b) ∑_{n=0}^{N−1} n^{s} = \frac{B_{s+1}(N) − B_{s+1}(0)}{s + 1}

Abgabe: Bis spätestens Donnerstag, 21.6.1990, 15.30 Uhr in den Kasten bei Zi. 308 des Mathematikgebäudes oder in der Übung im Hörsaal Hauptbau.