Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 25.5.1990 Mathematisches Institut II Prof. Dr. H.-W. Leopoldt

Elementare Zahlentheorie — Übungsblatt 5

* Aufgabe 19 (5 Punkte)

Zeigen Sie folgende Verallgemeinerung des Fermatschen Satzes:

Für n ∈ IN, a ∈ ZZ gilt n | ∑_{d | n} μ(d) · a^{\frac{n}{d}} .

Aufgabe 20 (3 Punkte)

(a) Sei p ∈ IP. Zeigen Sie:

ḡ ∈ IF_{p}^{×} ist genau dann Primitivwurzel modulo p, wenn für alle Primteiler q von p − 1 gilt ḡ^{\frac{p−1}{q}} ≠ ¯1.

(b) Bestimmen Sie alle Primitivwurzeln modulo 31.

Aufgabe 21 (4 Punkte) Beweisen Sie das folgende Primzahlkriterium für n ∈ IN: n ist Primzahl ⟺ n > 1, zu jedem Primteiler p von n−1 gibt es ein a ∈ ZZ mit a^{n−1} ≡ 1 (mod n) und a^{\frac{n−1}{p}} ≢ 1 (mod n).

Aufgabe 22 (4 Punkte) Sei p ∈ IP, p > 2. Zeigen Sie die folgenden Kongruenzen:

(a) h! · k! + (−1)^{h} ≡ 0 (mod p) für h, k ∈ IN mit h + k = p − 1 ,

(b) ((\frac{p−1}{2})!)^{2} ≡ (−1)^{\frac{p+1}{2}} (mod p) ,

(c) 2^{2} · 4^{2} · 6^{2} · . . . · (p − 1)^{2} ≡ (−1)^{\frac{p+1}{2}} (mod p) ,

(d) 1^{2} · 3^{2} · 5^{2} · . . . · (p − 2)^{2} ≡ (−1)^{\frac{p+1}{2}} (mod p) .

Aufgabe 23 (7 Punkte) Sei p ∈ IP. Für F ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] sei N(F) die Anzahl der Lösungen in IF_{p}^{n} der Kongruenz F (X_{1}, …, X_{n}) ≡ 0 (mod p).

(a) Zeigen Sie: Für F (X_{1}, X_{2}) = aX_{1} + bX_{2} (a, b ∈ ZZ) gilt N(F) ≡ 0 (mod p).

(b) Sei p ungerade. Zeigen Sie: Für F_{a}(X_{1}) = X_{1}^{2} − a (a ∈ ZZ) gilt N(F_{a}) ≡ 1 + a^{\frac{p−1}{2}} (mod p).

* (c) Sei p ungerade. Geben Sie ein Polynom P (λ) an, so daß für F_{λ}(X_{1}, X_{2}) = X_{2}^{2} − X_{1}(X_{1} − 1)(X_{1} − λ)

(λ ∈ ZZ) gilt N(F_{λ}) ≡ P (λ) (mod p). (Hinweis: Betrachten Sie – wie beim Beweis des Satzes von Waring/Chevalley – die Monome des Polynoms 1 − F^{p−1} .)

Aufgabe 24 (4 Punkte)

Für n ∈ IN sei guT(n) der größte ungerade Teiler von n. Zeigen Sie: ∑_{n=1}^{∞} \frac{guT(n)}{n^{s}} = \frac{1 − 2^{1−s}}{1 − 2^{−s}} · ζ(s − 1).

Abgabe: Bis spätestens Donnerstag, 31.5.1990, 15.30 Uhr in den Kasten bei Zi. 308 des Mathematikgebäudes oder in der Übung im Hörsaal Hauptbau.