Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 11.5.1990 Mathematisches Institut II Prof. Dr. H.-W. Leopoldt

Elementare Zahlentheorie — Übungsblatt 3

Aufgabe 8 (4 Punkte) Zeigen Sie: Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form p = 4k + 1.

Aufgabe 9 (6=3+3 Punkte)

(a) Zeigen Sie, daß für alle a, b, c, d, e, f ∈ ZZ mit ad − bc = ±1 gilt

(ax + by, cx + dy) = (x, y)

(b) Zeigen Sie für a, b, c, d ∈ IN:

(ac, bd) = (a, b) · (c, d) · (\frac{a}{(a, b)}, \frac{d}{(c, d)}) · (\frac{b}{(a, b)}, \frac{c}{(c, d)})

Aufgabe 10 (4 Punkte) Bestimmen Sie alle Lösungen von xy + yz + zx = 0 in ganzen Zahlen x,y,z.

Aufgabe 11 (6=1+1+2+2 Punkte)

(a) Bestimmen Sie den ggT von 125 + 95i und 116i in Γ = ZZ[i].

(b) Bestimmen Sie den ggT von T^{4} − 5T^{2} + 4 und T^{2} − 5T + 6 in Γ = Q[T].

(c) Zeigen Sie, daß T^{2} + 7T + 4 ein Primelement in Γ = Q[T] ist.

(d) Für m, n ∈ IN gilt in Q[T]: (T^{m} − 1, T^{n} − 1) = T^{(m,n)} − 1.

Aufgabe 12 (6 Punkte) Es seien θ ∈ C\ZZ und Γ = {a + bθ : a, b ∈ ZZ}.

(a) Zeigen Sie:

Γ ist ein Ring genau dann, wenn θ von der Form θ = u + v · ω ist, u, v ∈ ZZ und (ω = \sqrt{d} mit d ∈ ZZ) oder (ω = \frac{1+\sqrt{d}}{2} mit d ∈ ZZ, d = 4k + 1).

(b) Zeigen Sie, daß für θ = \frac{1+\sqrt{17}}{2} Γ ein euklidischer Ring ist.

(Hinweis: Betrachten Sie {(a, b) ∈ Q^{2} : N(a + bθ) < 1}.)

Abgabe: Bis spätestens Donnerstag, 17.5.1990, 15.30 Uhr in den Kasten bei Zi. 308 des Mathematikgebäudes oder in der Übung im Hörsaal Hauptbau.