Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 13.7.1990 Mathematisches Institut II Prof. Dr. H.-W. Leopoldt

Elementare Zahlentheorie — Übungsblatt 12

Aufgabe 57 (3 Punkte) Sei p eine ungerade Primzahl. Für α, β ∈ \{+1, −1\} sei N(α, β) die Anzahl der x ∈ IF_{p} mit (\frac{x}{p}) = α und (\frac{x+1}{p}) = β.

Zeigen Sie, daß 4 · N(α, β) = ∑_{x=1}^{p−2} (1 + α(\frac{x}{p})) · (1 + β(\frac{x + 1}{p})) = p − 2 − β − αβ − α · (\frac{−1}{p}).

Aufgabe 58 (7 Punkte)

Für m ∈ IN und k ∈ ZZ sei G(k, m) = ∑_{a=0}^{m−1} ζ_{m}^{ka^{2}} mit ζ_{m} = e^{\frac{2πi}{m}} zu berechnen. Zeigen Sie:

(a) Für d ∈ IN, d | (k, m) gilt G(k, m) = d·G (\frac{k}{d} , \frac{m}{d}). Man kann sich also auf teilerfremde k, m beschränken.

(b) Für (m_{1}, m_{2}) = 1 gilt G(k, m_{1}m_{2}) = G(km_{2}, m_{1})·G(km_{1}, m_{2}). Man kann sich also auf Primzahlpotenzen m beschränken.

(c) Sei m = p^{s} mit p ∈ IP, p > 2 und p |̸ k.

Dann ist G(k, p^{s}) = p · G(k, p^{s−2}) für s ≥ 2, G(k, p) = ψ(k) · τ(ψ) für s = 1

und somit G(k, p^{s}) = \{ \begin{matrix}p^{\frac{s}{2}} & für s ≡ 0 (mod 2) \\ p^{\frac{s−1}{2}} · ψ(k) · τ(ψ) & für s ≡ 1 (mod 2) \end{matrix}\}.

Dabei sei ψ das Legendre-Symbol mod p (ψ(x) = (\frac{x}{p})).

(d) Sei m = 2^{s} und 2 |̸ k. Dann ist G(k, 2^{s}) = 2 · G(k, 2^{s−2}) für s ≥ 4, G(k, 8) = 4 · ζ_{8}^{k} für s = 3, G(k, 4) = 2 · (1 + ζ_{4}^{k}) für s = 2, G(k, 2) = 0 für s = 1

und somit G(k, p^{s}) = \{ \begin{matrix}1 & für s = 0 \\ 0 & für s = 1 \\ 2^{\frac{s}{2}} · (1 + ζ_{4}^{k}) & für s ≡ 0 (mod 2), s ≥ 2 \\ 2^{\frac{s+1}{2}} · ζ_{8}^{k} & für s ≡ 1 (mod 2), s ≥ 2 \end{matrix}\}.

Aufgabe 59 (5 Punkte) Sei p eine ungerade Primzahl und J wie in Aufgabe 54 definiert. Es bezeichne χ einen eigentlichen Restklassencharakter mod p und ψ = (\frac{.}{p}) das Legendre-Symbol mod p. Zeigen Sie:

(a) ∑_{a∈IF_{p}} χ(1 − a^{2}) = J(χ, ψ).

(b) Für k ∈ IF_{p}^{×}: ∑_{a∈IF_{p}} χ (a(k − a)) = χ ((k/2)^{2}) · J(χ, ψ).

(c) Für χ^{2} ≠ ε gilt τ(χ)^{2} = τ(χ^{2}) · χ(2)^{−2} · J(χ, ψ) und J(χ, χ) = χ(2)^{−2} · J(χ, ψ).

Aufgabe 60 (4 Punkte) Sei p ∈ IP und n ∈ IN. Zeigen Sie:

(a) Hat x^{n} ≡ a (mod p) keine Lösung, so gibt es einen Restklassencharakter χ mod p mit χ^{n} = ε und χ(a) ≠ 1.

(b) Für die Anzahl N(n, a, p) der Lösungen in IF_{p} der Kongruenz x^{n} ≡ a (mod p) gilt

N(n, a, p) = ∑_{{χ∈X_{p} \atop χ^{d}=ε}} χ(a), wobei d = (n, p − 1) sei.

Aufgabe 61 (6 Punkte)

Hier geht es um die schnelle Berechnung von Summen der Form S_{a}^{b}(p, q) := ∑_{x=a+1}^{b} ⌊\frac{px}{q}⌋, wobei p ∈ IN_{0} und

q ∈ IN teilerfremd und a, b ∈ IN_{0} , a ≤ b. Zeigen Sie:

(a) S_{a}^{b}(p, q) = S_{a}^{b}(p − q, q) + \frac{(b^{2} + b) − (a^{2} + a)}{2} .

(b) S_{a}^{b}(p, q) = (b · ⌊\frac{p}{q}b⌋ + ⌊\frac{b}{q} ⌋) − (a · ⌊\frac{p}{q}a⌋ + ⌊\frac{a}{q}⌋) − S_{⌊\frac{p}{q} a⌋}^{⌊\frac{p}{q} b⌋}(q, p)

(c) Berechnen Sie ∑_{x=101}^{1000} ⌊\frac{107}{52} · x⌋.

(d) Wie berechnen Sie ∑_{x=1}^{1000} ⌊\sqrt{2} · x⌋?

Aufgabe 62 (3 Punkte) Zeigen Sie tan \frac{3π}{11} + 4 sin \frac{2π}{11} = \sqrt{11}. (Hinweis: τ(χ) für χ(a) = (\frac{a}{11}).)

Abgabe: Bis spätestens Freitag, 20.7.1990, 11.15 Uhr in den Kasten bei Zi. 308 des Mathematikgebäudes oder in der Vorlesung im Hörsaal Hauptbau.