Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 6.7.1990 Mathematisches Institut II Prof. Dr. H.-W. Leopoldt

Elementare Zahlentheorie — Übungsblatt 11

Aufgabe 52 (3 Punkte)

Sei χ ein eigentlicher Restklassencharakter mit Führer f und τ(χ) = ∑_{a∈( ZZ / ZZf )^{×}} χ(a) · ζ_{f}^{a} seine Gaußsche

Summe. Zeigen Sie:

(a) \overline{τ(χ)} = χ(−1) · τ(\overline{χ}),

(b) |τ(χ)| = \sqrt{f}.

Aufgabe 53 (5 Punkte) Sei χ ein eigentlicher Restklassencharakter mit Führer f, χ ≠ ε.

(a) Zeigen Sie:

L(1, χ) = \{ \begin{matrix}−\frac{τ(χ)}{f} · ∑_{{a∈\{1,...,f−1\} \atop (a,f)=1}} \overline{χ}(a) log (2 sin \frac{πa}{f}) & für χ(−1) = +1 \\ \frac{τ(χ)}{f} · ∑_{{a∈\{1,...,f−1\} \atop (a,f)=1}} \overline{χ}(a) · \frac{πia}{f} & für χ(−1) = −1 \end{matrix} \}

(b) Berechnen Sie die L(1, χ) von allen Restklassencharakteren χ mit Führer f ≤ 6 möglichst explizit.

Aufgabe 54 (5 Punkte) Für zwei Restklassencharaktere χ, ψ mod p (p ∈ IP) heißt J(χ, ψ) = ∑_{{a,b∈ ZZ / ZZp \atop a+b≡1 mod p}} χ(a) · ψ(b) Jacobische Summe.

Zeigen Sie:

(a) J(χ, ψ) = \{ \begin{matrix}1 & für χ = ε, ψ = ε \\ 0 & für χ = ε, ψ ≠ ε \\ 0 & für χ ≠ ε, ψ = ε \\ −χ(−1) & für χ ≠ ε, ψ ≠ ε, χψ = ε \\ \frac{τ(χ)τ(ψ)}{τ(χψ)} & für χ ≠ ε, ψ ≠ ε, χψ ≠ ε \end{matrix}\}

(b) |J(χ, ψ)| ∈ \{0, 1, \sqrt{p}\}.

Aufgabe 55 (3 Punkte)

Sei f(s) = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}n^{−s} eine Dirichletreihe. Zeigen Sie:

(a) Ist die Reihe f(s) an einem Punkt s = s_{0} konvergent, so ist sie für s > s_{0} + 1 absolut konvergent.

(b) Ist die Reihe f(s) an einem Punkt s = s_{0} absolut konvergent, so ist sie für s > s_{0} ebenfalls absolut konvergent.

Aufgabe 56 (4 Punkte) Zeigen Sie den ”Identitätssatz für Dirichletreihen“:

Stimmen zwei Dirichletreihen f(s) = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}n^{−s} und g(s) = ∑_{n=1}^{∞} b_{n}n^{−s} für alle s > s_{0} (s_{0} ∈ IR fest) überein,

so gilt a_{n} = b_{n} für alle n ∈ IN.

Abgabe: Bis spätestens Donnerstag, 12.7.1990, 15.30 Uhr in den Kasten bei Zi. 308 des Mathematikgebäudes oder in der Übung im Hörsaal Hauptbau.