Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 28.6.1990 Mathematisches Institut II Prof. Dr. H.-W. Leopoldt

Elementare Zahlentheorie — Übungsblatt 10

Aufgabe 46 (5 Punkte)

Bestimmen Sie die Wertetabelle aller Charaktere von (ZZ/ZZm)^{×} für

(a) m = 10,

(b) m = 9,

(c) m = 8.

Aufgabe 47 (3=1+2 Punkte) Sei A eine endliche abelsche Gruppe, X = Â ihre Charaktergruppe und A ∈ A ein Element der Ordnung n. Zeigen Sie:

(a) Für jeden Charakter χ ∈ X ist χ(A) eine n-te Einheitswurzel.

(b) Unter den Zahlen χ(A) (χ ∈ X) tritt jede n-te Einheitswurzel gleich oft auf.

(Hinweis: Für zwei n-te Einheitswurzeln ζ, ξ gilt \{ \begin{matrix}1 & falls ζ = ξ \\ 0 & falls ζ ≠ ξ \end{matrix}\} = \frac{1}{n} · ∑_{k=0}^{n−1} ζ^{k}ξ^{−k}.)

Aufgabe 48 (3=1+2 Punkte) Sei A eine endliche abelsche Gruppe der Ordnung m und X = Â ihre Charaktergruppe. Zeigen Sie:

(a) Für A ∈ A gilt ∏_{χ∈X}(1 − χ(A) · T) = (1 − T^{n})^{\frac{m}{n}} , wobei n = #⟨A⟩ die Ordnung von A sei,

(b) Für χ ∈ X gilt ∏_{A∈A}(1 − χ(A) · T) = (1 − T^{n})^{\frac{m}{n}} , wobei n = #⟨χ⟩.

Aufgabe 49 (4=2+2 Punkte) Sei A eine endliche abelsche Gruppe und B ⊂ A eine Untergruppe. Zeigen Sie:

(a) Die Untergruppe {χ ∈ Â: χ|_{B} = 1} von Â ist zu Â/B isomorph.

(b) Die Abbildung \{ \begin{matrix}Â & → & B̂ \\ χ & ↦ & χ|_{B} \end{matrix} \} ist surjektiv. Jeder Charakter auf B kann also zu einem Charakter auf

A fortgesetzt werden.

Aufgabe 50 (3 Punkte) Ist f : IN → C stark multiplikativ und periodisch, so ist f ein Restklassencharakter mod m, wobei m ∈ IN die kleinste Periode von f sei.

Aufgabe 51 (5=4+1 Punkte)

(a) Zeigen Sie, daß auf

M = {(n, χ) : n ∈ IN, χ Restklassencharakter mod n}

durch

(n_{1}, χ_{1}) ∼ (n_{2}, χ_{2}) :⟺ für alle a_{1}, a_{2} ∈ ZZ mit (a_{1}, n_{1}) = 1, (a_{2}, n_{2}) = 1 und (n_{1}, n_{2}) | a_{1} − a_{2}
gilt χ_{1}(a_{1}) = χ_{2}(a_{2})

eine Äquivalenzrelation definiert ist.

(b) Zeigen Sie: Aus (n_{1}, χ_{1}) ∼ (n_{2}, χ_{2}) folgt

L(s, χ_{1}) · ∏_{p∈IP ; {p | n_{2} \atop p/ |n_{1}}} (1 − \frac{χ_{1}(p)}{p^{s}}) = L(s, χ_{2}) · ∏_{p∈IP ; {p | n_{1} \atop p/ |n_{2}}} (1 − \frac{χ_{2}(p)}{p^{s}})

Abgabe: Bis spätestens Donnerstag, 5.7.1990, 15.30 Uhr in den Kasten bei Zi. 308 des Mathematikgebäudes oder in der Übung im Hörsaal Hauptbau.