Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 28.6.1991 Mathematisches Institut II Dr. W. Trinks

Algebra II — Übungsblatt 8

Aufgabe 35 Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper und R = k[X, Y]. Zeigen Sie:

(a) Sind f, g ∈ R \ {0} teilerfremde Polynome, so ist Var(⟨f, g⟩) eine endliche Menge.

(b) R hat genau die folgenden Primideale:

(i) p = R, (ii) p = ⟨X − α, Y − β⟩ mit α, β ∈ k, (iii) p = ⟨f⟩ mit einem Primpolynom f ∈ R \ {0}, (iv) p = {0}.

(c) Welches sind die abgeschlossenen Mengen von Spec(R) ?

Aufgabe 36 Seien R ein Ring und Var, Id auf X = Spec_{m}(R) bezogen.

(a) Zeigen Sie, daß für jedes Ideal a ⊴ R gilt

Id(Var(a)) = \{a ∈ R : ∀b ∈ R : ∃c ∈ R : (1 + ab)c − 1 ∈ a\} ≥ \sqrt{a}

(b) Bestimmen Sie ein R und a ⊴ R, für das Id(Var(a)) ≠ \sqrt{a}.

Abgabe: Bis spätestens Freitag, 5.7.1991, 9.40 Uhr in den Kasten bei Zi. 308 des Mathematikgebäudes oder in der Übung im S 34.