Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 21.6.1991 Mathematisches Institut II Dr. W. Trinks

Algebra II — Übungsblatt 7

Aufgabe 32 Seien X_{1}, X_{2} R-Gitter in einem endlich-dimensionalen Quot (R)-Vektorraum. Zeigen Sie, daß auch X_{1} ∩X_{2} ein solches Gitter ist.

Aufgabe 33 (Eine alternative Definition von χ(X_{1}, X_{2}) im Fall R = ℤ) Sei X ein ℤ-Gitter im ℝ^{n}, d.h. X ein freier ℤ-Modul vom Rang n mit X ⊗_{ℤ} ℝ = ℝ^{n}. Für eine ℤ-

Basis (b_{1}, …, b_{n}) von X sei d(X) := vol ([0, 1) · b_{1} + ⋯ + [0, 1) · b_{n}) das n-dimensionale Volumen des von b_{1}, …, b_{n} aufgespannten Parallelepipeds im ℝ^{n}, genannt Diskriminante von X. Zeigen Sie:

(a) d(X) ist wohldefiniert und > 0.

(b) Sind X_{1}, X_{2} ℤ-Gitter im ℝ^{n} mit X_{1} ⊂ X_{2} , so ist #(X^{2} /X_{1} ) = \frac{d(X_{1})}{d(X_{2})} . *

(c) Sind X_{1}, X_{2} ℤ-Gitter im ℝ^{n} und φ ∈ End_{ℝ} (ℝ^{n}) eine lineare Abbildung mit φ(X_{1}) = X_{2} , so ist

\frac{d(X_{1})}{d(X_{2})} = \frac{1}{|det φ|}.

(d) Für jeden ℤ-Modul M endlicher Länge gilt χ_{ℤ}(M) = #M < ∞.

(e) Sind X_{1}, X_{2} ℤ-Gitter im ℝ^{n}, so gilt χ_{ℤ}(X_{1}, X_{2}) = \frac{d(X_{2})}{d(X_{1})} .

Aufgabe 34 Sei R = ℤ, K = ℚ, L = K(θ) mit f(θ) = θ^{3} − 3θ + 1 = 0 und S der Ring der über R ganzen Elemente von L. Bestimmen Sie

(a) den Zerfällungskörper von f über K,

(b) Spur_{L/K} (x) und N_{L/K}(x) eines beliebigen Elements x = a + bθ + cθ^{2} (a, b, c ∈ K) von L,

(c) zu V := R · 1 ⊕ R · θ ⊕ R · θ^{2} eine R-Basis von V^{∗} sowie die Differente ,

(d) eine R-Basis von S sowie die Differente ,

(e) für alle Primideale p von R: alle Primideale P von S mit P | p sowie jeweils e_{P|p} und f_{P|p} .

Abgabe: Bis spätestens Freitag, 28.6.1991, 9.40 Uhr in den Kasten bei Zi. 308 des Mathematikgebäudes oder in der Übung im S 34.