Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 7.6.1991 Mathematisches Institut II Dr. W. Trinks

Algebra II — Übungsblatt 6

Aufgabe 26 Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper, n ∈ IN_{0} und X, Y ⊂ k^{n} algebraische Mengen. Man setze dim X := dim I(X) (Dimension des Verschwindungsideals von X). Zeigen Sie, daß aus X ⊂ Y folgt dim X ≤ dim Y .

Aufgabe 27 R ganzabgeschlossen ⇒ R[X_{1}, …, X_{n}] ganzabgeschlossen.

Aufgabe 28 Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Ein Satz der Vorlesung besagt: R ist ein diskret bewerteter Ring genau dann, wenn die folgenden Aussagen gelten:

(1) R noethersch,

(2) R lokaler Ring, mit maximalem Ideal m,

(3) m ist Hauptideal: m = π · R, und

(4) π ist nicht nilpotent. Geben Sie je ein R an, für den

(a) ¬(1) ∧ (2),

(b) (1) ∧ ¬(2),

(c) (1) ∧ (2) ∧ ¬(3),

(d) (1) ∧ (2) ∧ (3) ∧ ¬(4),

(e) (1) ∧ (2) ∧ (3) ∧ (4) gilt.

Aufgabe 29 Sei R ein kommutativer Ring mit 1 und ν : R → IN_{0} ∪ {+∞} mit den Eigenschaften

(i) ν(x) = +∞ ⇔ x = 0, (ii) ν(x · y) = ν(x) + ν(y), (iii) ν(x + y) ≥ min (ν(x), ν(y)). Zeigen Sie:

(a) ν(x + y) = min (ν(x), ν(y)), falls ν(x) ≠ ν(y).

(b) R Integritätsring.

(c) ν läßt sich eindeutig zu einem ν̃ : Quot (R) → ℤ ∪ {+∞} fortsetzen, für das (i), (ii), (iii) gelten.

(d) R ist ein diskret bewerteter Ring, mit maximalem Ideal m = {x ∈ R : ν(x) > 0}.

Aufgabe 30 Sei R ein diskret bewerteter Ring. Zeigen Sie: Die Ideale von R sind genau:

• (in der Sichtweise des lokalen Rings) {0} und m^{n}, n ∈ IN_{0} ,

• (in der Sichtweise der diskreten Bewertung) {0} und {x ∈ R : ν(x) ≥ n}, n ∈ IN_{0} .

Aufgabe 31

Sei R ein Dedekindring. Zeigen Sie: Die Idealklassengruppe I(R)/H(R) ist genau dann die Einsgruppe, wenn R ein Hauptidealring ist.

Abgabe: Bis spätestens Freitag, 14.6.1991, 9.40 Uhr in den Kasten bei Zi. 308 des Mathematikgebäudes oder in der Übung im S 34.