Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 24.5.1991 Mathematisches Institut II Dr. W. Trinks

Algebra II — Übungsblatt 5

Aufgabe 23 Sei R ein kommutativer Ring, M ∈ _{R}M. Zeigen Sie: Sind (Q_{i})_{i∈I} (I ≠ O / beliebige Indexmenge) zum selben Primideal p assoziierte Primärmoduln Q_{i} ≤ M, so ist auch ⋂_{i∈I} Q_{i} ein zu p assoziierter Primärmodul.

Aufgabe 24 Sei R ein noetherscher Ring und a ⊴ R. Zeigen Sie: Die Menge P_{a} der minimalen Elemente von \{p ⊴ R : p Primideal, p ⊃ a\} ist endlich, und \sqrt{a} = ⋂_{p∈P_{a}} p.

Aufgabe 25 Bestimmen Sie eine reduzierte Primärzerlegung von

(a) ⟨X^{2}Y , Y^{2} − Y , Y^{2} + Y , Y^{3} − Y ⟩ ⊴ ℂ[X, Y],

(b) ⟨X^{2} + λ · XY + Y^{2} + 1⟩ ⊴ ℂ[X, Y] für λ ∈ ℂ,

(c) ⟨X^{2} + λ · XY + Y^{2} + 1⟩ ⊴ ℝ[X, Y] für λ ∈ ℝ (z. B. nach dem Verfahren der Vorlesung vom 27.5.) und bestimmen Sie jeweils die Nullstellenvarietät des angegebenen Ideals.

Abgabe: Bis spätestens Freitag, 31.5.1991, 9.40 Uhr in den Kasten bei Zi. 308 des Mathematikgebäudes oder in der Übung im S 34.