Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 17.5.1991 Mathematisches Institut II Dr. W. Trinks

Algebra II — Übungsblatt 4

Aufgabe 17 Welche der folgenden Ideale sind Primärideale bzw. Primideale?

(a) ⟨2⟩, ⟨4⟩, ⟨6⟩ in ℤ,

(b) ⟨X⟩, ⟨X, Y ⟩, ⟨X^{2}, Y ⟩, ⟨X^{2}, Y^{2}, (Y + 1)^{2}⟩ in ℚ[X, Y].

Aufgabe 18 Zeigen Sie:

(a) ⟨4, X⟩ ⊴ ℤ[X] ist primär, aber nicht Potenz eines Primideals.

(b) R = ℤ[2X, X^{2}, X^{3}] ist noethersch, p = ⟨2X, X^{2}⟩ ⊴ R ein Primideal, p^{2} aber kein Primärideal.

Aufgabe 19

(a) Ist M ein endlich erzeugter Modul über einem Hauptidealring, so ist für jedes N ≤ M die Primärzerlegung von N bis auf Permutation eindeutig bestimmt.

(b) Geben Sie für ⟨4, 2X⟩ ⊴ ℤ[X] zwei verschiedene reduzierte Primärzerlegungen an.

Aufgabe 20 Geben Sie eine reduzierte Primärzerlegung, mit assoziierten Primidealen, von

⟨X^{2}, XY, XZ, Y Z⟩ ⊴ ℚ[X, Y, Z]

an.

Aufgabe 21 Sei R ein kommutativer Ring mit 1, M ∈ _{R}M und N ≤ M. Zeigen Sie: N ist genau dann primär, wenn #Ass(M /N ) = 1. In diesem Fall ist Ass(M /N ) = {p}, wobei p das zu N in M assoziierte Primideal ist.

Aufgabe 22 Sei R ein kommutativer Ring mit 1, M ∈ _{R}M, N ≤ M. N habe eine reduzierte Primärzerlegung N = Q_{1} ∩ … ∩ Q_{r}; dabei sei jeweils p_{i} das zu Q_{i} assoziierte Primideal. Zeigen Sie:

(a) Ass(M /N ) = {p_{1}, …, p_{r}},

(b) Ass(M /_{(Q_{i_{1}} ∩ … ∩ Q_{i_{k}})}) = {p_{i_{1}}, …, p_{i_{k}}},

(c) Ass((Q^{i_{1}} ∩ … ∩ Q^{i_{k}})/N ) = {p_{1}, …, p_{r}} \ {p_{i_{1}}, …, p_{i_{k}}}.

Abgabe: Bis spätestens Freitag, 24.5.1991, 9.40 Uhr in den Kasten bei Zi. 308 des Mathematikgebäudes oder in der Übung im S 34.