Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 3.5.1991 Mathematisches Institut II Dr. W. Trinks

Algebra II — Übungsblatt 3

Aufgabe 11 Sei F ein additiver kovarianter Funktor von _{R}M nach _{S}M. Zeigen Sie, daß die folgenden Definitionen für F äquivalent sind:

(a) für Linksexaktheit:

(i) Aus 0 ⟶ A ⟶^{f} B ⟶^{g} C exakt (in _{R}M) folgt 0 ⟶ F A ⟶^{F f} F B ⟶^{F g} F C exakt (in _{S}M). (ii) Aus 0 ⟶ A ⟶^{f} B ⟶^{g} C ⟶ 0 exakt (in _{R}M) folgt 0 ⟶ F A ⟶^{F f} F B ⟶^{F g} F C exakt (in _{S}M).

(b) für Rechtsexaktheit:

(i) Aus A ⟶^{f} B ⟶^{g} C ⟶ 0 exakt (in _{R}M) folgt F A ⟶^{F f} F B ⟶^{F g} F C ⟶ 0 exakt (in _{S}M). (ii) Aus 0 ⟶ A ⟶^{f} B ⟶^{g} C ⟶ 0 exakt (in _{R}M) folgt F A ⟶^{F f} F B ⟶^{F g} F C ⟶ 0 exakt (in _{S}M).

(c) für Exaktheit:

(i) F linksexakt und rechtsexakt.

(ii) Aus 0 ⟶ A ⟶^{f} B ⟶^{g} C ⟶ 0 exakt (in _{R}M) folgt 0 ⟶ F A ⟶^{F f} F B ⟶^{F g} F C ⟶ 0 exakt (in

SM). Hinweis: Vielleicht helfen Ihnen folgende Hilfsbehauptungen:

(a) F linksexakt, f : A → B injektiv ⇒ F f : F A → F B injektiv.

(b) F rechtsexakt, f : A → B surjektiv ⇒ F f : F A → F B surjektiv.

Aufgabe 12 Ist M = ⨁_{i∈I} M_{i} eine beliebige direkte Summe von R-Rechtsmoduln, so gilt:

M flach ⇔ alle M_{i} flach.

M treu-flach ⇔ alle M_{i} flach und mindestens ein M_{i} treu-flach.

Aufgabe 13 Seien R ein kommutativer Ring mit 1, S ⊂ R multiplikativ abgeschlossen (d.h. 1 ∈ S, S · S ⊂ S) und M ein R-Modul. Zeigen Sie:

(a) M_{1} ≤ M ⇒ S^{−1}M_{1} ≤ S^{−1}M und S^{−1}(M /M_{1} ) ˜= S^{−1}M /S^{−1}M_{1} .

(b) S^{−1}(M_{1} + M_{2}) = S^{−1}M_{1} + S^{−1}M_{2} für M_{1}, M_{2} ≤ M.

(c) S^{−1}(M_{1} ∩ M_{2}) = S^{−1}M_{1} ∩ S^{−1}M_{2} für M_{1}, M_{2} ≤ M.

Aufgabe 14 Sei R ein Hauptidealring (z.B. R = ℤ). Zeigen Sie, daß R hermitesch ist, d.h.

∀a_{1}, …, a_{n} ∈ R mit a_{1}R + ⋯ + a_{n}R = R ∃\begin{aligned}( \\ ( & b_{ij} & ) \\ & ) \end{aligned}_{\begin{matrix}i=2,... ,n \\ j=1,... ,n \end{matrix}} ∈ R^{(n−1)×n} mit | \begin{matrix}a_{1} & … & a_{n} \\ b_{21} & … & b_{2n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ b_{n1} & … & b_{nn} \end{matrix} | = 1.

Aufgabe 15 Sei R ein LA-Ring. Kann man die Entscheidung, ob ein gegebenes Polynom ∈ R[X] irreduzibel ist, allein mit den für LA-Ringe charakteristischen Operationen algorithmisch durchführen?

Aufgabe 16 Sei R der noethersche Ring ℤ[T].

(a) Hat das lineare Gleichungssystem ( \begin{matrix}T + 2 & T + 1 \\ T + 6 & T + 3 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2 \\ 3 \end{matrix} ) eine Lösung über R?

(b) Bestimmen Sie ein endliches R-Erzeugendensystem von {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ R^{3} : (3T + 1) · x_{1} + (2T + 1) · x_{2} + T^{2} · x_{3} = 0}.

Abgabe: Bis spätestens Freitag, 10.5.1991, 9.40 Uhr in den Kasten bei Zi. 308 des Mathematikgebäudes oder in der Übung im S 34.