Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 22.4.1991 Mathematisches Institut II Dr. W. Trinks

Algebra II — Übungsblatt 1

Aufgabe 1 Sei R ein Ring, M ein R-Rechtsmodul und N ein R-Linksmodul.

(a) Sei M_{1} ein Unter-R-Rechtsmodul von M und N_{1} ein Unter-R-Linksmodul von N, mit Einbettungen i_{1} : M_{1} ↪ M und i_{2} : N_{1} ↪ N.

(i) Dann ist ⟨m ⊗ n : m ∈ M_{1}, n ∈ N_{1}⟩ = Bild (i_{1} ⊗ i_{2}) ein Unter-ℤ-Modul von M ⊗_{R} N, und es gilt

M /M_{1} ⊗_{R} N /N_{1} ˜= M ⊗_{R} N /Bild (i_{1} ⊗ i_{2})

(ii) Zeigen Sie, daß die Aussage ”Bild (i_{1} ⊗ i_{2}) ist zu M_{1} ⊗ N_{1} isomorph“ falsch ist, jedoch gültig wird, wenn man die Existenz eines π_{1} ∈ Hom_{M_{R}} (M, M_{1}) mit π_{1} ∘ i_{1} = id_{M_{1}} und eines π_{2} ∈ Hom_{_{R}M} (N, N_{1}) mit π_{2} ∘ i_{2} = id_{N_{1}} voraussetzt.

(b) Ist M_{1} ein Unter-R-Rechtsmodul von M, mit Einbettung i : M_{1} ↪ M und einem Homomorphismus π : M → M_{1} mit π ∘ i = id_{M_{1}} , so ist

(M /M_{1} ) ⊗_{R} N ˜= (M ⊗_{R} N)/_{(M_{1} ⊗_{R} N)}

(c) Ist M = ⨁_{i∈I} M_{i} eine beliebige direkte Summe von R-Rechtsmoduln, so ist

M ⊗_{R} N ˜= ⨁_{i∈I} (M_{i} ⊗_{R} N)

Aufgabe 2 Seien R ein kommutativer Ring mit 1 und A, B Ideale in R.

(a) Dann ist R/A ⊗_{R} R/B ˜= R/(A + B) .

(b) Was können Sie über A ⊗_{R} B aussagen?

Aufgabe 3 Seien K ein Körper, V und W endlichdimensionale K -Vektorräume und φ ∈ End_{K} (V), ψ ∈ End_{K} (W). Zeigen Sie, daß das charakteristische Polynom p_{φ ⊗_{K} ψ} von φ ⊗_{K} ψ ∈ End_{K} (V ⊗_{K} W ) nur von von den charakteristischen Polynomen p_{φ} und p_{ψ} abhängt. In welcher Weise?

Aufgabe 4 Definition: Ein Morphismus f : A → B in einer Kategorie C heißt Isomorphismus, wenn es einen Morphismus g : B → A in C gibt mit gf = 1_{A} und fg = 1_{B}. Zeigen Sie:

(a) Innerhalb der Objekte von C ist die so definierte Isomorphie eine Äquivalenzrelation.

(b) Jeder Isomorphismus ist Mono und Epi. (Die Umkehrung gilt nicht!)

Aufgabe 5 Sei C eine Kategorie. Definition: A ∈ Ob C heißt Anfangsobjekt von C, wenn für alle B ∈ Ob C die Menge Hom_{C} (A, B) genau einelementig ist. B ∈ Ob C heißt Endobjekt von C, wenn für alle A ∈ Ob C die Menge Hom_{C} (A, B) genau einelementig ist.

(a) Zeigen Sie: Je zwei Anfangsobjekte von C sind isomorph. Je zwei Endobjekte von C sind isomorph.

(b) Bestimmen Sie – sofern vorhanden – Anfangs- und Endobjekt in den Kategorien Set (Mengen, Abbildungen), RM (R-Linksmoduln), Ring (Ringe mit 1, Ringhomomorphismen).

Abgabe: Bis spätestens Freitag, 26.4.1991, 9.40 Uhr in den Kasten bei Zi. 308 des Mathematikgebäudes oder in der Übung im S 34.