Aufgabe 48 (6=1+2+1+2 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring mit 1. {∑_{n=1}^{∞} a_{n} · n^{−s} : alle a_{n} ∈ R} sei der Ring der formalen Dirichletreihen (aus Aufgabe 46: R[[S]] mit S = (IN, ·) und n^{−s} := δ(n)).

(a) ∑_{n=1}^{∞} a_{n} · n^{−s} ist genau dann invertierbar, wenn a_{1} ∈ R^{×}.

(b) Definiert man die Möbiusfunktion (μ(n))_{n∈IN} durch ∑_{n=1}^{∞} μ(n) · n^{−s} := (∑_{n=1}^{∞} 1 · n^{−s})^{−1} , so gilt

(i) Hat n die Primfaktorzerlegung n = p_{1}^{m_{1}} ⋯ p_{s}^{m_{s}} (alle p_{i} paarweise verschiedene Primzahlen, alle

m_{i} > 0), so ist

μ(n) = \{ \begin{matrix}(−1)^{s} & falls alle m_{i} = 1 \\ 0 & sonst \end{matrix}\}

(ii) μ(m · n) = \{ \begin{matrix}μ(m) · μ(n) & falls ggT(m, n) = 1 \\ 0 & falls ggT(m, n) ≠ 1 \end{matrix}\}.

(c) Für zwei Folgen (f_{n})_{n∈IN} und (g_{n})_{n∈IN} in R sind äquivalent:

(i) ∀n ∈ IN : g(n) = ∑_{m | n} f(m)
(ii) ∀n ∈ IN : f(n) = ∑_{m | n} μ (\frac{n}{m}) · g(m)

(Möbiussche Umkehrformel)

(d) Für a ∈ IN und n ∈ IN gilt n | ∑_{{d∈IN \atop d | n}} μ(d) · a^{n/d}. *