Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 12.12.1990 Mathematisches Institut II Dr. W. Trinks

Algebra I — Übungsblatt 9

Aufgabe 44 (5 Punkte)

Für n ∈ IN sei D_{n} := Z_{2} ×_{φ} Z_{n} (mit Z_{2} = ⟨s⟩, Z_{n} = ⟨d⟩, φ : \{ \begin{matrix}Z_{2} → Aut(Z_{n}) \\ 1 ↦ id \\ s ↦ (x ↦ x^{−1}) \end{matrix}\} ) die Diedergruppe.

Zeigen Sie:

(a) Für n ≥ 3 ist die Symmetriegruppe eines ebenen regelmäßigen n-Ecks (d.h. die Menge der räumlichen Bewegungen, die das n-Eck invariant lassen) zur D_{n} isomorph.

(b) Jedes Element der D_{n} läßt sich als s^{i} · d^{j} (0 ≤ i < 2, 0 ≤ j < n) schreiben, und es gilt s^{2} = 1, d^{n} = 1, dsd = s.

(c) D_{n} ist zur (abstrakten) Gruppe ⟨σ, δ | σ^{2} = 1, δ^{n} = 1, δσδ = σ⟩ isomorph.

(d) Bestimmen Sie alle Untergruppen der D_{n}.

(e) D_{3} ˜= S_{3} .

Aufgabe 45 (2 Punkte) Welche Ordnung hat die Gruppe ⟨σ, τ | σ^{2} = τ^{2} = 1⟩ ?

Aufgabe 46 (5 Punkte) Sei R ein Ring (mit 1) und S ein Monoid, das der Endlichkeitsbedingung

∀s ∈ S : # {(s_{1}, s_{2}) ∈ S × S : s_{1} · s_{2} = s} < ∞

genüge. Zeigen Sie:

(a) R[[S]] := {f : S → R} ist mit den Verknüpfungen

f + g : (s ↦ f(s) + g(s))

und

f · g : (s ↦ ∑_{s=s_{1}·s_{2}} f(s_{1}) · g(s_{2}))

ein Ring mit 1. R[[S]] heißt Ring der formalen Potenzreihen von S über R.

(b) Definiert man Konvergenz auf R[[S]] durch f_{n} → f für n → ∞ :⟺

für alle endlichen Teilmengen S_{0} ⊆ S ∃n_{0} ∀n ≥ n_{0} : ∀s ∈ S_{0} : f_{n}(s) = f(s),

so sind + und · : R[[S]] × R[[S]] → R[[S]] stetig.

(c) Ist (f_{i})_{i∈I} eine Familie von Elementen von R[[S]] mit der Eigenschaft ∀s ∈ S : # {i ∈ I : f_{i}(s) ≠ 0} < ∞ (so eine Familie heißt summierbar), so kann man ∑_{i∈I} f_{i} ∈ R[[S]] definieren.

Es gilt die Rechenregel

∑_{(i,j)∈I×J} f_{i,j} = ∑_{i∈I} ∑_{j∈J} f_{i,j} = ∑_{j∈J} ∑_{i∈I} f_{i,j}

sobald der erste der drei Ausrücke definiert ist.

(d) δ : \{ \begin{matrix}S → R[[S]] \\ s ↦ δ(s) : \left\{{s ↦ 1 \atop t ↦ 0 für t ≠ s}\right\} \end{matrix}\} ist ein Monoidhomomorphismus δ : (S, ·) → (R[[S]], ·). Jedes

f ∈ R[[S]] läßt sich eindeutig darstellen als f = ∑_{s∈S} a_{s} · δ(s), alle a_{s} ∈ R.

Aufgabe 47 (10 = 2 + \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} + 1 + 1 + 2 + 2 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring mit 1. R[[X]] sei der Ring der formalen Potenzreihen in einer Variablen (Aufgabe 46 mit S = (IN_{0}, +) und X := δ(1)).

(a) Für f = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}X^{n} sei der Untergrad ω(f) definiert durch

ω(f) = \{ \begin{matrix}min \{n ∈ IN_{0} : a_{n} ≠ 0\} & für f ≠ 0 \\ ∞ & für f = 0 \end{matrix}\}

Zeigen Sie:

(i) ω(f) = sup {n ∈ IN_{0} : X^{n} | f}.

(ii) ω(f + g) ≥ min(ω(f), ω(g)); falls ω(f) ≠ ω(g), sogar ω(f + g) = min(ω(f), ω(g)).

(iii) ω(f · g) ≥ ω(f) + ω(g). Wann gilt ω(f · g) = ω(f) + ω(g) ?

(b) Ist R ein Integritätsring, so auch R[[X]].

(c) f = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}X^{n} ∈ R[[X]]^{×} ⟺ a_{0} ∈ R^{×}.

In (d) bis (g) sei R ein Körper.

(d) R[[X]] ist ein Hauptidealring.

(e) R[[X]] ⊕ ⨁_{{n∈ZZ \atop n<0}} R · X^{n} = \{ ∑_{n=n_{0}}^{∞} a_{n}X^{n} : n_{0} ∈ ZZ, alle a_{n} ∈ R\} ist ein Ring, der Ring der formalen Lau-

rentreihen. Er ist isomorph zu R((X)) := Quot (R[[X]]).

(f) { ∑_{m=m_{0}}^{∞} ∑_{n=n_{0}}^{∞} a_{m,n}X^{m}Y^{n} : m_{0}, n_{0} ∈ ZZ, alle a_{m,n} ∈ R} ist ein Ring, aber nur eine echte Teilmenge von *

R((X, Y)) := Quot (R[[X, Y]]).

(g) Sei f = ∑_{n=0}^{∞} a(n)X^{n} ∈ R[[X]]. Die Koeffizienten a(n) genügen genau dann einer linearen Rekursion mit

konstanten Koeffizienten

a(n + r) = c_{r−1} · a(n + r − 1) + ⋯ + c_{0} · a(n) ∀n ≥ n_{0}

(r ∈ IN_{0} , c_{r−1}, …, c_{0} ∈ R), wenn f eine ”rationale Funktion“ f(X) = \frac{p(X)}{q(X)} mit p, q ∈ R[X] ist.

(h) Sei f = ∑_{n=0}^{∞} a(n)X^{n} ∈ R[[X]], Q ⊆ R. Genau dann ist a(n) (für alle hinreichend großen n) ein Polynom *

in n, wenn f von der Form f(X) = \frac{p(X)}{(1 − X)^{m}} (m ∈ IN_{0} , p ∈ R[X] Polynom) ist.

Abgabe: Bis spätestens Dienstag, 18.12.1990, 11.15 Uhr in den Kasten bei Zi. 308 des Mathematikgebäudes oder in der Übung im Neuen Hörsaal.