Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 5.12.1990 Mathematisches Institut II Dr. W. Trinks

Algebra I — Übungsblatt 8

* Aufgabe 38 (5 Punkte)

(a) Für i = 1, 2 sei G_{i} = H ×_{φ_{i}} N das semidirekte Produkt einer Gruppe H mit einer Gruppe N zum Homomorphismus φ_{i} : H → Aut(N). Es existiere ein ρ ∈ Aut(N) mit φ_{2} = inn_{ρ} ∘ φ_{1} (Bezeichnung siehe Aufgabe 31). Zeigen Sie, daß dann G_{1} ˜= G_{2} ist.

Sei V_{4} = {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} ≤ S_{4} die Kleinsche Vierergruppe. Zeigen Sie, daß es

(b) höchstens drei

(c) mindestens drei Isomorphieklassen von semidirekten Produkten S_{3} × V_{4} gibt.

Aufgabe 39 (4 Punkte) Bestimmen Sie alle Isomorphieklassen von Gruppen der Ordnung 44.

Aufgabe 40 (2 Punkte) Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie:

(a) Für eine endliche Gruppe G sind äquivalent:

(i) #G ist eine p-Potenz. (ii) ∀σ ∈ G : ∃k ∈ IN_{0} : σ^{p^{k}} = 1. So eine Gruppe heißt p-Gruppe.

(b) Für eine endliche Gruppe G und eine Untergruppe H ≤ G sind äquivalent: (i) H ist eine p-Sylowgruppe von G (d.h. #H ist die maximale p-Potenz, die #G teilt). (ii) H ist eine maximale p-Gruppe in G (d.h. H ist eine p-Gruppe, und es gibt keine p-Gruppe H̃

mit H < H̃ ≤ G).

Aufgabe 41 (4 Punkte) Zeigen Sie:

(a) Ist G = G_{1} × G_{2} ein direktes Produkt von endlichen Gruppen G_{1} und G_{2} , so ist jede p-Sylowgruppe P von G von der Gestalt P = P_{1} × P_{2} , wobei P_{1} eine p-Sylowgruppe von G_{1} und P_{2} eine p-Sylowgruppe von G_{2} ist.

* (b) Ist G = H × N ein semidirektes Produkt von endlichen Gruppen H und N, so ist jede p-Sylowgruppe P von G von der Gestalt P = σP_{H}σ^{−1} × P_{N}, wobei σ ∈ N, P_{H} eine p-Sylowgruppe von H mit σP_{H}σ^{−1} ≤ P und P_{N} eine p-Sylowgruppe von N mit P_{N} ≤ P ist.

Aufgabe 42 (4=2+2 Punkte) Leiten Sie die folgenden Darstellungen der Gruppe S_{4} durch Erzeugende und definierende Relationen her:

(a) S_{4} ˜= ⟨τ_{1}, τ_{2}, τ_{3} | τ_{1}^{2} = τ_{2}^{2} = τ_{3}^{2} = (τ_{1}τ_{2})^{3} = (τ_{2}τ_{3})^{3} = (τ_{1}τ_{3})^{2} = 1⟩.

(b) S_{4} ˜= ⟨σ, τ | σ^{4} = τ^{2} = (στ)^{3} = 1⟩.

Aufgabe 43 (7=3+4 Punkte) Sei R ein Ring mit 1. Zeigen Sie die Existenz und die Eigenschaften des Produkts und Koprodukts von R-(Links-)Moduln (hier direktes Produkt bzw. direkte Summe genannt):

(a) Ist (M_{i})_{i∈I} eine Familie von R-Moduln, so heißt ein R-Modul M, mit R-Modul-Homomorphismen

γ_{i} : M → M_{i} (i ∈ I), der die universelle Abbildungseigenschaft für alle R-Moduln N für alle Systeme (η_{i})_{i∈I} von R-Modul-Homomorphismen η_{i} : N → M_{i} existiert genau ein R-Modul-Homomorphismus φ : N → M mit ∀i ∈ I : γ_{i} ∘ φ = η_{i}

erfüllt, direktes Produkt der M_{i}: M = ∏_{i∈I} M_{i}.

Zeigen Sie:

(i) Ist (M, (γ_{i})) ein direktes Produkt der M_{i}, so sind die γ_{i} surjektiv, und ⋂_{i∈I} Kern(γ_{i}) = {0}.

(ii) Sind (M, (γ_{i})) und (M̃, (γ̃_{i})) direkte Produkte der M_{i}, so gibt es einen R-Modul-Isomorphismus

Φ : M → M̃ mit ∀i ∈ I : γ̃_{i} ∘ Φ = γ_{i}. (iii) Es existiert stets ein direktes Produkt der M_{i}.

(b) Ist (M_{i})_{i∈I} eine Familie von R-Moduln, so heißt ein R-Modul M, mit R-Modul-Homomorphismen

γ_{i} : M_{i} → M (i ∈ I), der die universelle Abbildungseigenschaft für alle R-Moduln N für alle Systeme (η_{i})_{i∈I} von R-Modul-Homomorphismen η_{i} : M_{i} → N existiert genau ein R-Modul-Homomorphismus φ : M → N mit ∀i ∈ I : φ ∘ γ_{i} = η_{i}

erfüllt, direkte Summe der M_{i}: M = ⨁_{i∈I} M_{i}.

Zeigen Sie:

(i) Ist (M, (γ_{i})) eine direkte Summe der M_{i}, so sind die γ_{i} injektiv, und ⟨⋃_{i∈I} Bild(γ_{i})⟩ = M.

(ii) Sind (M, (γ_{i})) und (M̃, (γ̃_{i})) direkte Summen der M_{i}, so gibt es einen R-Modul-Isomorphismus

Φ : M → M̃ mit ∀i ∈ I : Φ ∘ γ_{i} = γ̃_{i}. (iii) Es existiert stets eine direkte Summe der M_{i}.

(Hinweis: Wählen Sie eine geeignete Teilmenge von ∏ M_{i}.) (Beachten Sie: Im Fall R = ZZ haben Sie das direkte Produkt bzw. die direkte Summe von abelschen Gruppen konstruiert.)

Abgabe: Bis spätestens Dienstag, 11.12.1990, 11.15 Uhr in den Kasten bei Zi. 308 des Mathematikgebäudes oder in der Übung im Neuen Hörsaal.