Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 28.11.1990 Mathematisches Institut II Dr. W. Trinks

Algebra I — Übungsblatt 7

Aufgabe 32 (3 Punkte) Bestimmen Sie alle Untergruppen der Quaternionengruppe

Q = ⟨i = ( \begin{matrix}i & 0 \\ 0 & −i \end{matrix} ), j = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ), k = ( \begin{matrix}0 & −i \\ −i & 0 \end{matrix} )⟩ ≤ GL_{2}(C)

Zeichnen Sie den Untergruppenverband. Welche der Untergruppen sind Normalteiler?

Aufgabe 33 (3 Punkte) Sei G eine Gruppe und H ≤ G, N ≤ G mit H · N = G und H ∩ N = {1}. Zeigen Sie, daß G zu einem (äußeren) semidirekten Produkt H ×_{φ} N isomorph ist.

Aufgabe 34 (1 Punkte) Sei G eine Gruppe, die auf einer Menge M operiere. Zeigen Sie: Liegen m_{1}, m_{2} ∈ M in derselben Bahn unter G, so sind die Fixgruppen G_{m_{1}} und G_{m_{2}} in G konjugiert.

Aufgabe 35 (4=2+2 Punkte)

(a) Zeigen Sie das Lemma von Burnside:

Sei G eine endliche Gruppe, die auf einer endlichen Menge M operiere.

Für g ∈ G bezeichne χ(g) := #{m ∈ M : gm = m} die Anzahl der Fixpunkte von g. Dann ist die Anzahl der Bahnen

#\{Gm : m ∈ M\} = \frac{1}{#G} · ∑_{g∈G} χ(g)

(b) Zeigen Sie, daß für a ∈ IN und n ∈ IN mit φ(d) := #(ZZ/dZZ)^{×}

n | ∑_{{d∈IN \atop d | n}} φ(d) · a^{n/d}

(Hinweis: Wenden Sie (a) auf passende G und M an.)

Aufgabe 36 (3 Punkte)

(a) Sei G eine Gruppe. Bezeichnet Z(G) = {g ∈ G : ∀h ∈ G : gh = hg} das Zentrum von G und Inn(G) (aus Aufgabe 31) die Menge der inneren Automorphismen von G, so gilt Z(G) ≤ G und G/Z(G) ˜= Inn(G).

(b) Bestimmen Sie Z (GL_{n}(K)), K Körper.

Aufgabe 37 (4 Punkte) G sei eine Gruppe mit #G = p · q · r, p, q, r (nicht notwendig verschiedene) Primzahlen. Zeigen Sie, daß G nicht einfach ist.

* Aufgabe 38 (5 Punkte)

(a) Für i = 1, 2 sei G_{i} das semidirekte Produkt einer Gruppe N mit einer Gruppe H zum Homomorphismus φ_{i} : H → Aut(N). Es existiere ein ρ ∈ Aut(N) mit φ_{2} = inn_{ρ} ∘ φ_{1} (Bezeichnung siehe Aufgabe 31). Zeigen Sie, daß dann G_{1} ˜= G_{2} ist.

Sei V_{4} = {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} ≤ S_{4} die Kleinsche Vierergruppe. Zeigen Sie, daß es

(b) höchstens drei

(c) mindestens drei Isomorphieklassen von semidirekten Produkten S_{3} × V_{4} gibt.

Abgabe: Bis spätestens Dienstag, 4.12.1990, 11.15 Uhr in den Kasten bei Zi. 308 des Mathematikgebäudes oder in der Übung im Neuen Hörsaal.