Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 20.11.1990 Mathematisches Institut II Dr. W. Trinks

Algebra I — Übungsblatt 6

Aufgabe 27 (8=3+2+1+2 Punkte) Leiten Sie (aus dem Struktursatz für endlich erzeugte Moduln über Hauptidealringen) den Hauptsatz über die Jordansche Normalform her: Sei k ein Körper, V ein n-dimensionaler k -Vektorraum, A ∈ End_{k}(V), p_{A}(t) = det(tI − A) das charakter-

istische Polynom von A, mit der Faktorisierung p_{A}(t) = ∏_{i=1}^{m} p_{i}(t)^{e_{i}} in normierte, in k[t] irreduzible Faktoren

p_{i}(t), alle e_{i} ∈ IN \ {0}, m ∈ IN_{0} . Sei g_{i} := grad p_{i} ∈ IN \ {0}.

(a) Dann hat V eine Basis, bezüglich der A die Abbildungsmatrix

J = ( \begin{matrix}J_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & J_{m} \end{matrix} )

hat, mit den Jordanblöcken

J_{i} = ( \begin{matrix}J_{i,1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & J_{i,r_{i}} \end{matrix} )

bestehend aus den Jordankästchen

J_{i,j} = ( \begin{matrix}Λ_{i} & & & 0 \\ E & ... \\ & ... & ... \\ 0 & & E & Λ_{i} \end{matrix} ) ∈ k^{g_{i}l_{i,j}×g_{i}l_{i,j}}

der ”Größe“ l_{i,j} ∈ IN \ {0}, wobei zu p_{i}(t) = t^{g_{i}} + c_{i,g_{i}−1}t^{g_{i}−1} + ⋯ + c_{i,0}t^{0}

Λ_{i} = ( \begin{matrix}0 & & & & −c_{i,0} \\ 1 & ... & & & −c_{i,1} \\ & ... & ... & & ⋮ \\ & & ... & 0 & −c_{i,g_{i}−2} \\ & & & 1 & −c_{i,g_{i}−1} \end{matrix} ) ∈ k^{g_{i}×g_{i}}

die Begleitmatrix zu p_{i} und

E = ( \begin{matrix}0 & ⋯ & 0 & 1 \\ ⋮ & ... & & 0 \\ ⋮ & & ... & ⋮ \\ 0 & ⋯ & ⋯ & 0 \end{matrix} ) ∈ k^{g_{i}×g_{i}}

ist.

(b) Ordnet man bei festem i die Jordankästchen J_{i,j} so, daß l_{i,1} ≥ l_{i,2} ≥ … ≥ l_{i,r_{i}} gilt, und setzt man l_{i,j} := 0 für j > r_{i}, so gilt für die Elementarteiler d_{1}, …, d_{n} ∈ k[t] der Matrix tI − A ∈ k[t]^{n×n} :

∀j ∈ {1, …, n} : d_{n+1−j} ≈ ∏_{i=1}^{m} p_{i}(t)^{l_{i,j}}

(c) Der Elementarteiler d_{n} ∈ k[t] von tI − A ist das Minimalpolynom von A.

(d) Bestimmen Sie von A = ( \begin{matrix}1 & 1 & −4 & 2 \\ 0 & −1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & −5 & 2 \\ 2 & 1 & −4 & 1 \end{matrix} ) ∈ C^{4×4} die Jordansche Normalform

und von tI − A ∈ C[t]^{4×4} die Elementarteiler.

Aufgabe 28 (2 Punkte) Sei G eine Gruppe, U, V Normalteiler von G mit U ⊆ V . Zeigen Sie: V /U ist Normalteiler von G/U , und es gilt (G/U )/(V /U ) ˜= G/V .

Aufgabe 29 (4 Punkte) Sei G eine Gruppe und U, V Untergruppen von G. Zeigen Sie:

(a) U × V operiert auf G vermöge (u, v) · g := u · g · v^{−1} . Sind U und V endlich, so gilt

(b) #(U · V) = \frac{#U · #V}{#(U ∩ V)} ,

(c) ∀g ∈ G : #(U · g · V) = \frac{#U · #V}{#(U ∩ gV g^{−1})} , *

(d) ∀g ∈ U : #(U ∩ V) = #(U ∩ gV g^{−1}).

Aufgabe 30 (3 Punkte) (Hier sei Ω = ∅, d.h. wir betrachten beliebige Untergruppen und Normalteiler.)

(a) Geben Sie alle Kompositionsreihen von ZZ/24ZZ an.

(b) Sei n ∈ IN \ {0}. Geben Sie eine Kompositionsreihe von ZZ/nZZ an.

(c) Leiten Sie aus dem Satz von Jordan-Hölder die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen her.

Aufgabe 31 (4=1+2+1 Punkte) Sei G eine Gruppe. Zeigen Sie:

(a) Für alle g ∈ G ist durch

inn_{g} : \{ \begin{matrix}G → G \\ x ↦ gxg^{−1} \end{matrix}\}

ein Automorphismus von G gegeben.

(b) inn : \{ \begin{matrix}G → Aut(G) \\ g ↦ inn_{g} \end{matrix}\} ist ein Gruppenhomomorphismus, und Inn(G) := \{inn_{g} : g ∈ G\} ist ein Normalteiler von Aut(G).

(c) Mit Ω = Inn(G) sind die Ω-Untergruppen von G genau die Normalteiler von G.

Abgabe: Bis spätestens Dienstag, 27.11.1990, 11.15 Uhr in den Kasten bei Zi. 308 des Mathematikgebäudes oder in der Übung im Neuen Hörsaal.