Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 14.11.1990 Mathematisches Institut II Dr. W. Trinks

Algebra I — Übungsblatt 5

Aufgabe 22 (2 Punkte) Zeigen Sie: Q ist (als ZZ-Modul) nicht endlich erzeugbar.

Aufgabe 23 (4=1+1+2 Punkte) R sei ein kommutativer Ring mit 1. Für a ∈ R und n ∈ IN_{0} definieren wir (Knuth-Notation): a\overline{n} := a(a + 1) ⋯ (a + n − 1) und a\underline{n} := a(a − 1) ⋯ (a − n + 1). Zeigen Sie für a, b ∈ R und m, n ∈ IN_{0} :

(a) ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k} · a\underline{k} · b\underline{n−k} = (a + b)\underline{n},

(b) ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k} · a\overline{k} · b\overline{n−k} = (a + b)\overline{n},

(c) ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k} · (m − a + b)\underline{k} · (n + a − b)\underline{n−k} · (a + k)\underline{m+n} = a\underline{m} · b\underline{n} · (m + n)\underline{n}.

*

Aufgabe 24 (5=1+2+2 Punkte) Sei R ein Hauptidealring, A ∈ R^{m×n}, b ∈ R^{m} und L (A, b) := {x ∈ R^{n} : Ax = b}. Nach dem Elementarteiler-Satz existieren P ∈ GL_{m}(R), Q ∈ GL_{n}(R), so daß P · A · Q = diag(d_{1}, …, d_{r}, 0, …, 0) eine Diagonalmatrix mit d_{1} | d_{2} | … | d_{r} ≠ 0 ist. Zeigen Sie:

(a) L (A, b) ≠ ∅ ⟺ für ( c_{1} ; ⋮ ; c_{m} ) := P · b gilt d_{1} | c_{1} , …, d_{r} | c_{r} und c_{r+1} = 0, …, c_{m} = 0.

(b) Existiert ein x_{0} ∈ L (A, b), so gilt L (A, b) = x_{0} + L (A, 0), und die letzten n − r Spalten von Q bilden ein freies Erzeugendensystem von L (A, 0).

(c) Berechnen Sie für R = ZZ, A = ( \begin{matrix}5 & 0 & −2 & 3 & −4 \\ 7 & 6 & 2 & 9 & −2 \\ 7 & 4 & 0 & 7 & −4 \end{matrix} ), b = ( \begin{matrix}2 \\ 1 + α \\ 0 \end{matrix} )

L (A, b) in Abhängigkeit von α ∈ ZZ.

Aufgabe 25 (5=1+2+1+1 Punkte) M sei ein freier ZZ-Modul vom Rang n (d.h. M habe ein freies Erzeugendensystem aus n Elementen), n ∈ IN_{0} . N sei ein Untermodul von M. Zeigen Sie:

(a) N ist ebenfalls ein freier ZZ-Modul, von einem Rang m ≤ n.

(b) Ist m = n, so gibt es ein freies Erzeugendensystem (x_{1}, …, x_{n}) von M und natürliche Zahlen d_{1}, …, d_{n} > 0, so daß (d_{1}x_{1}, …, d_{n}x_{n}) ein freies Erzeugendensystem von N ist. Ferner ist der Untergruppenindex (M : N) = d_{1} ⋯ d_{n}.

(c) Ist (x_{1}, …, x_{n}) ein freies Erzeugendensystem von M, (y_{1}, …, y_{n}) ein freies Erzeugendensystem von

N, und schreibt man die y_{i} als y_{i} = ∑_{j=1}^{n} a_{ij} · x_{j}, so gilt (M : N) = |det ((a_{ij}))|.

(d) Bestimmen Sie den Untergruppenindex (ZZ [\frac{−1+\sqrt{−3}}{2}] : ZZ [\sqrt{−3}]).

* Aufgabe 26 (4 Punkte) Sei (G, +) eine endliche abelsche Gruppe, gegeben durch die folgende Verknüpfungstafel:

a b c d e f g h i j k l m n p q
a  a b c d e f g h i j k l m n p q
b  b e f c q i j m d k l g n p h a
c  c f p n i h e l m q a b g j k d
d  d c n m f p b k h e q a l g j i
e  e q i f a d k n c l g j p h m b
f  f i h p d m q g n a b e j k l c
g  g j e b k q p d a h m n c f i l
h  h m l k n g d e j c f i q a b p
i  i d m h c n a j p b e q k l g f
j  j k q e l a h c b m n p f i d g
k  k l a q g b m f e n p h i d c j
l  l g b a j e n i q p h m d c f k
m  m n g l p j c q k f i d a b e h
n  n p j g h k f a l i d c b e q m
p  p h k j m l i b g d c f e q a n
q  q a d i b c l p f g j k h m n e

Stellen Sie G in der Form G ˜= ZZ/d_{1}ZZ × ⋯ × ZZ/d_{r}ZZ dar. Welchen Elementen von G entsprechen dabei

die Erzeuger (1, 0, …, 0), …, (0, …, 0, 1) ∈ ZZ/d_{1}ZZ × ⋯ × ZZ/d_{r}ZZ ? (Sollten Sie die Aufgabe mit dem Computer lösen, so legen Sie bitte Programmlisting und Ausführungsprotokoll bei.)

Abgabe: Bis spätestens Dienstag, 20.11.1990, 11.15 Uhr in den Kasten bei Zi. 308 des Mathematikgebäudes oder in der Übung im Neuen Hörsaal.