Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 7.11.1990 Mathematisches Institut II Dr. W. Trinks

Algebra I — Übungsblatt 4

Aufgabe 17 (2 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Zeigen Sie: Sind n Ideale (n ≥ 1) A_{1}, …, A_{n} paarweise komaximal, so sind die n Ideale B_{i} := A_{1} · . . . · A_{i−1} · A_{i+1} · . . . · A_{n} (i = 1, …, n) komaximal.

Aufgabe 18 (3 Punkte) Im Irak wird eine gewisse Anzahl (< 4000) von Ausländern festgehalten. Die Führung beschließt, sie in drei gleiche Teile aufzuteilen und auf militärisch wichtige Einrichtungen zu verteilen. Der eine Teil: Steckt man 5 an jede Brücke und 3 an jeden Flugplatz, so bleiben 8 Leute übrig. Steckt man 7 an jede Brücke und 2 an jeden Flugplatz, so bleiben 5 übrig. Der nächste Teil: Steckt man 5 in jede Raffinerie und 3 in jedes Kraftwerk, so bleibt einer übrig. Steckt man 2 in jede Raffinerie und 7 in jedes Kraftwerk, so bleiben 2 übrig. Der dritte Teil: Steckt man 2 in jedes Munitionslager und 4 auf jedes Raketensilo, so bleiben 3 übrig. Steckt man 3 in jedes Munitionslager und 2 auf jedes Raketensilo, so bleiben 6 übrig. Wie ist die militärische Situation des Irak, und wieviele Ausländer hat er als Geiseln genommen?

Aufgabe 19 (5 Punkte) Für zwei R-Linksmoduln M, N sei HomR-links (M, N) oder kurz Hom_{R} (M, N) oder Hom (M, N) die Menge aller Homomorphismen φ: M → N von R-Linksmoduln.

(a) Zeigen Sie, daß Hom (M, N) mit der Addition φ + ψ: \{ \begin{matrix}M → N \\ x ↦ φ(x) + ψ(x) \end{matrix}\} ein ZZ-Modul wird.

(b) Was müssen Sie voraussetzen, damit Hom (M, N) mit der Multiplikation r · φ: \{ \begin{matrix}M → N \\ x ↦ r · φ(x) \end{matrix}\} ein

R-Linksmodul wird? Bestimmen Sie für m, n ∈ IN \ {0} (bis auf Isomorphie)

(c) Hom_{ZZ} (ZZ, ZZ/nZZ),

(d) Hom_{ZZ} (ZZ/nZZ, ZZ),

(e) Hom_{ZZ} (ZZ/nZZ, ZZ/mZZ).

Aufgabe 20 (4 Punkte) R sei ein Ring mit 1 und M ein R-Linksmodul. Dann heißt

Tor (M) := {m ∈ M | ∃a ∈ R \ {0} : a · m = 0}

die Torsion von M. Falls Tor (M) ⊆ {0}, heißt M torsionsfrei.

(a) Für m ∈ M heißt Ann (m) := {a ∈ R | a · m = 0} der Annulator von m. Zeigen Sie: Ann (m) ≤ R, und R/Ann (m) ˜= R · m (isomorph als R-Linksmoduln).

(b) Für einen Unter-R-Linksmodul N ⊆ M sei Ann (N) := {a ∈ R | ∀m ∈ N : a · m = 0}. Zeigen Sie: Ann (N) ≤ R, und N ist in natürlicher Weise ein R/Ann (N) -Linksmodul.

(c) Ist p eine Primzahl und (G, ·) eine endliche abelsche Gruppe mit ∀g ∈ G : g^{p} = 1, so ist #G eine p-Potenz.

(d) Sei R sogar Integritätsring. Zeigen Sie: Tor (M) ist ein Unter-R-Linksmodul von M, und M /Tor (M) ist ein torsionsfreier R-Linksmodul.

Aufgabe 21 (4 Punkte) Sei k ein Körper, V ein k -Vektorraum und φ: V → V eine lineare Abbildung. Zeigen Sie, daß V vermöge der Verknüpfung

\{ \begin{matrix}(k[x], V) → V \\ (p(x), v) ↦ p(φ)(v) \end{matrix}\}

zu einem k[x]-Linksmodul wird, und bestimmen Sie Tor (V) und Ann (V) in den folgenden Fällen:

(a) V endlichdimensional,

(b) k = IR, V = C^{∞}(IR → IR) und φ(f) = f′ die Ableitung.

Abgabe: Bis spätestens Dienstag, 13.11.1990, 11.15 Uhr in den Kasten bei Zi. 308 des Mathematikgebäudes oder in der Übung im Neuen Hörsaal. Ab sofort finden kleine Übungsgruppen (Tutorien) statt: Montags 9.45-11.15 Uhr im S31 bei Michael Müller (Vorrechnen von Aufgaben) und montags 17.30-19.00 Uhr im S33 bei Jan Litsch (mehr Beantwortung von Fragen zur Vorlesung).