Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 31.10.1990 Mathematisches Institut II Dr. W. Trinks

Algebra I — Übungsblatt 3

Aufgabe 11 (6=1+2+1+2 Punkte) R sei ein ZPE-Ring und IP_{R} ein Vertretersystem der Teilbarkeitsklassen der Primelemente von R. Zeigen Sie:

(a) Zu a, b ∈ R existiert ein ggT(a, b) und ein kgV(a, b). (Bitte ausführlicher als in der Vorlesung!)

* (b) R ist Hauptidealring ⟺ ∀a, b ∈ R : ∃u, v ∈ R : ggT(a, b) = u · a + v · b. (c) Die Primelementzerlegung eines x ∈ Quot (R)

x = u · ∏_{p∈IP_{R}} p^{a_{p}} (u ∈ R^{×}, alle a_{p} ∈ ZZ, fast alle = 0)

(deren Existenz in der Vorlesung gezeigt wurde) ist durch x eindeutig bestimmt.

(d) Für x, y ∈ R gilt:

(i) x ∈ R \ ({0} ∪ R^{×}) ⇒ es gibt nur endlich viele n ∈ IN mit ∃y ∈ R : x = y^{n}. (ii) n ∈ IN, n ≥ 1, x^{n} | y^{n} ⇒ x | y.

Aufgabe 12 (4 Punkte) R sei ein kommutativer Ring und A ≤ R ein Ideal. A heißt Primideal, wenn aus x · y ∈ A folgt x ∈ A oder y ∈ A.

A heißt maximales Ideal, wenn A ≠ R und es kein Ideal B ≤ R mit A≠^{⊆}B≠^{⊆}R gibt. Zeigen Sie:

(a) A maximales Ideal von R ⇒ A Primideal von R, A ≠ R.

(b) Ist R Hauptidealring, so gilt die Umkehrung: A Primideal von R, A ≠ R, A ≠ {0} ⇒ A maximales Ideal von R.

(c) A Primideal von R ⟺ R/A ist nullteilerfrei.

(d) A maximales Ideal von R ⟺ R/A ist ein Körper.

Aufgabe 13 (3 Punkte)

Sei R ein Ring und I ≤ R ein Ideal. κ: \{ \begin{matrix}R → R/I \\ x ↦ x + I \end{matrix}\} sei die kanonische Surjektion. Zeigen Sie:

Man hat die folgenden Bijektionen zwischen I (R)_{⊇I} := {A ≤ R : I ⊆ A} und I (R/I) :

φ : \{ \begin{matrix}I (R)_{⊇I} → I (R/I) \\ A ↦ κ(A) \end{matrix}\} ,

ψ : \{ \begin{matrix}I (R/I) → I (R)_{⊇I} \\ B ↦ κ^{−1}(B) \end{matrix}\} ,

und es gilt φ ∘ ψ = id und ψ ∘ φ = id.

Aufgabe 14 (2 Punkte) Sei k ein Körper und R = k[X, Y] der Polynomring in zwei Variablen. Zeigen Sie, daß R kein Hauptidealring ist. (Hinweis: Betrachten Sie das Ideal A = ⟨X, Y ⟩ = X · R + Y · R.)

* Aufgabe 15 (4 Punkte)

Zeigen Sie, daß für a ∈ ZZ, a ≢ 0 (mod 5) das Polynom f(x) = x^{5} − x + a in Q[x] irreduzibel ist.

Aufgabe 16 (4 Punkte)

Sei R = ZZ/mZZ mit m ∈ IN, m ≠ 0, q ∈ R und S = {1, q, q^{2}, q^{3}, …}. Zu welchem Ihnen bekannten Ring ist S^{−1}R isomorph? Bestimmen Sie insbesondere die Mächtigkeit von S^{−1}R.

Abgabe: Bis spätestens Dienstag, 6.11.1990, 11.15 Uhr in den Kasten bei Zi. 308 des Mathematikgebäudes oder in der Übung im Neuen Hörsaal.