Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 24.10.1990 Mathematisches Institut II Dr. W. Trinks

Algebra I — Übungsblatt 2

Aufgabe 6 (4 Punkte) Es seien θ ∈ C\ZZ und R = {a + bθ : a, b ∈ ZZ}. Zeigen Sie: R ist ein Ring genau dann, wenn θ von der Form θ = u+v·ω ist, u, v ∈ ZZ und ω mit folgender Eigenschaft: (ω = \sqrt{d} mit d ∈ ZZ) oder (ω = \frac{1+\sqrt{d}}{2} mit d ∈ ZZ, d ≡ 1 (mod 4)).

Aufgabe 7 (6=1+1+2+2 Punkte) Zeigen Sie, daß ZZ [\sqrt{−1}] := ZZ + ZZ\sqrt{−1} ein euklidischer Ring ist. Zeigen Sie dazu:

(a) K := Q +Q\sqrt{−1} ist ein Körper, in dem für jedes Element x die Darstellung von x als a + b\sqrt{−1} eindeutig ist.

(b) Auf K ist durch N (a + b\sqrt{−1}) := |(a + b\sqrt{−1}) · (a − b\sqrt{−1})| eine Funktion N: K → Q definiert, die (i) N(x) = 0 ⟺ x = 0, (ii) N(x · y) = N(x) · N(y), (iii) N(x) ∈ IN für x ∈ ZZ [\sqrt{−1}] erfüllt.

(c) ZZ [\sqrt{−1}] ist ein (bezüglich N) euklidischer Ring. Verfahren Sie analog, um zu zeigen:

(d) ZZ [\frac{1 + \sqrt{5}}{2}] ist ein euklidischer Ring.

Aufgabe 8 (4 Punkte) Bestimmen Sie jeweils zu a, b ∈ R einen ggT c von a und b, und schreiben Sie c in der Form c = x · a + y · b mit x, y ∈ R.

(a) R = ZZ, a = 3855, b = 5235.

(b) R = ZZ[i] mit i = \sqrt{−1}, a = −43 + 99i, b = 118 + 76i.

(c) R = Q[X], a = X^{4} − 5X^{2} + 4, b = X^{2} − 5X + 6.

Aufgabe 9 (10 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1 + 1 + \frac{1}{2} + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 Punkte) Sei R ein Integritätsbereich (= nullteilerfreier kommutativer Ring mit 1), in dem zu je zwei Elementen a, b ∈ R ein ggT(a, b) existiert. Zeigen Sie für a, b, … ∈ R:

(a) ggT(a, b) = 0 ⟺ a = 0 ∧ b = 0,

(b) a′ | a ∧ b′ | b ⇒ ggT(a′, b′) | ggT(a, b),

(c) ggT(a, b + ac) ≈ ggT(a, b),

(d) ggT(a · c, b · c) ≈ ggT(a, b) · c,

(e) ggT(a, b · c) | ggT(a, b) · ggT(a, c),

(f) Ist d := ggT(a, b), so gibt es a′, b′ ∈ R mit a = a′ · d, b = b′ · d und ggT(a′, b′) ≈ 1.

(g) ggT(ggT(a, b), c) ≈ ggT(a, ggT(b, c)),

(h) Zu a, b ∈ R exisiert ein kgV(a, b), und es gilt ggT(a, b) · kgV(a, b) ≈ a · b.

(i) ggT(a + b, kgV(a, b)) ≈ ggT(a, b),

(j) für m, n ∈ IN: ggT (a^{m} − 1, a^{n} − 1) ≈ a^{ggT(m,n)} − 1.

(k) ggT(kgV(a, b), c) ≈ kgV(ggT(a, c), ggT(b, c)),

(l) kgV(ggT(a, b), c) ≈ ggT(kgV(a, c), kgV(b, c)).

* Aufgabe 10 (5 Punkte) Der euklidische Algorithmus liefert zu a, b ∈ IN den ggT g = ggT(a, b). Folgende Variante liefert auch eine Darstellung g = u · a + v · b mit u, v ∈ ZZ, und zwar fast immer mit kleinstmöglichem |u| und kleinstmöglichem |v|:

Seien a, b ∈ IN gegeben.

Man betrachtet Tripel (x, y, z) mit x · a + y · b = z, x ∈ ZZ, y ∈ ZZ, z ∈ IN.

Man startet mit (x_{1}, y_{1}, z_{1}) = (1, 0, a) und (x_{2}, y_{2}, z_{2}) = (0, 1, b).

Für n = 2, 3, …:

Falls z_{n} > 0, dividiere man z_{n−1} durch z_{n} mit Rest: z_{n−1} = q·z_{n}+z_{n+1} und setze (x_{n+1}, y_{n+1}, z_{n+1}) := (x_{n−1}, y_{n−1}, z_{n−1}) − q · (x_{n}, y_{n}, z_{n}). Falls z_{n} = 0, breche man ab, setze m := n und liefere (x_{m−1}, y_{m−1}, z_{m−1}) als Ergebnis.

z_{m−1} = g ist aus der Vorlesung bekannt. Zeigen Sie: Für das Ergebnis (u, v, g) = (x_{m−1}, y_{m−1}, z_{m−1}) gilt g = ggT(a, b) ≥ 0, u · a + v · b = g. Falls b = 0: m = 2, (u, v, g) = (1, 0, a). Falls b > 0 und b | a: m = 3, (u, v, g) = (0, 1, b). Falls b > 0 und b/ |a: m > 3, g > 0, |u| ≤ \frac{b}{2g}, |v| ≤ \frac{a}{2g}. (Hinweise: Untersuchen Sie die Vorzeichen von x_{n} und y_{n}. Was passiert mit den Ausdrücken x_{n} · y_{n+1} − x_{n+1} · y_{n}, x_{n} · z_{n+1} − x_{n+1} · z_{n}, y_{n} · z_{n+1} − y_{n+1} · z_{n} beim Schritt von n − 1 auf n? Setzen Sie dann n = m − 1 ein. )

Abgabe: Bis spätestens Dienstag, 30.10.1990, 11.15 Uhr in den Kasten bei Zi. 308 des Mathematikgebäudes oder in der Übung im Neuen Hörsaal.