Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 13.2.1991 Mathematisches Institut II Dr. W. Trinks

Algebra I — 16. und letztes Übungsblatt

Aufgabe 83

Gegeben sei V := \{(\frac{a}{1 + a^{2} + b^{2}} , \frac{b}{1 + a^{2} + b^{2}} , \frac{a^{2} + b^{2}}{1 + a^{2} + b^{2}} ) : a, b ∈ IR\} ⊆ IR^{3} . Finden Sie eine parameter-

freie Darstellung von V (z.B. durch Gleichungen in den Koordinaten x, y, z). Um welches geometrische Gebilde handelt es sich?

Aufgabe 84 Berechnen Sie die p-adische Zifferndarstellung von

(a) −1 ∈ ZZ_{p},

(b) −\frac{2}{3} ∈ ZZ_{5} ,

(c) \frac{3}{8} ∈ ZZ_{7} ,

(d) −\frac{13}{2} ∈ ZZ_{3} ,

(e) −\frac{1}{6} ∈ ZZ_{7} ,

(f) \frac{1}{10} ∈ ZZ_{11} ,

(g) −\frac{9}{16} ∈ ZZ_{13} ,

(h) \frac{1}{1−p} ∈ ZZ_{p}.

Aufgabe 85 Sei m ∈ IN_{0} und p ∈ IP. Zeigen Sie:

(a) Die Reihe ∑_{n=0}^{∞} n^{m}p^{n} konvergiert in ZZ_{p}.

(b) Ihr Wert ist eine rationale Zahl.

Aufgabe 86 Sei p ∈ IP. Zeigen Sie:

(a) Die Gleichung x^{p} − x = 0 hat in ZZ_{p} genau p Lösungen.

(b) Die Abbildung φ : \{ \begin{matrix}\{x ∈ ZZ_{p} : x^{p−1} = 1\} → IF_{p}^{×} \\ x ↦ x (mod p) \end{matrix}\} ist ein Isomorphismus abelscher Gruppen.

Aufgabe 87 Wieviele Nullstellen hat das Polynom f(X) = X^{7} − 7X + 3 in ZZ_{3} ? Berechnen Sie eine der Nullstellen mit einer Genauigkeit von 3^{−14} .

* Aufgabe 88

(a) Ist p eine ungerade Primzahl, so enthält Q_{p} die (p − 1)-ten Einheitswurzeln und keine anderen Einheitswurzeln.

(b) Sind p und q verschiedene ungerade Primzahlen, so sind die Körper Q_{p} und Q_{q} (als Körper) nicht isomorph.

Abgabe: Keine.