Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 6.2.1991 Mathematisches Institut II Dr. W. Trinks

Algebra I — Übungsblatt 15

Aufgabe 77 (3 Punkte) Konstruieren Sie ein Polynom f ∈ ZZ[X], so daß der Zerfällungskörper K von f über Q die Galoisgruppe Gal (K/Q) ˜= Z_{5} hat. (Hinweis: Z_{5} ≤ Z_{10} .)

Aufgabe 78 (3 Punkte) Leiten Sie die Lösungsformel für die allgemeine Gleichung 3. Grades her (nach del Ferro ca. 1510, Tartaglia 1535): Sei K ein Körper mit char(K) ≠ 2, 3. Jede Gleichung

X^{3} + aX^{2} + bX + c = 0

über K kann durch Substitution Y = X + \frac{a}{3} auf die Gestalt

Y^{3} + pY + q = 0

gebracht werden. (Wie bestimmen sich p und q aus a, b, c?) Deren Lösungen sind

Y = u + v, u = ^{3} \sqrt{−\frac{q}{2} + \sqrt{(\frac{q}{2})^{2} + (\frac{p}{3})^{3}}}, v = ^{3} \sqrt{−\frac{q}{2} − \sqrt{(\frac{q}{2})^{2} + (\frac{p}{3})^{3}}},

wobei die dritten Wurzeln so zu wählen sind, daß u · v = −\frac{p}{3} wird.

Aufgabe 79 (5 Punkte) Leiten Sie die Lösungsformel für die allgemeine Gleichung 4. Grades her: Sei K ein Körper mit char(K) ≠ 2, 3.

(a) Die Gleichung

X^{4} + aX^{3} + bX^{2} + cX + d = 0

über K kann durch Substitution Y = X + \frac{a}{4} auf die Gestalt

Y^{4} + pY^{2} + qY + r = 0

gebracht werden. Wie bestimmen sich p, q, r aus a, b, c, d?

(b) (Anleitung nach Ferrari:) Man kann P, Q, R so wählen, daß die Gleichung als

(Y^{2} + P )^{2} − (QY + R)^{2} = 0

geschrieben werden kann. Wie sind P, Q, R zu wählen? (Hinweis: eine kubische Gleichung für P.) Wie drücken sich die Lösungen Y aus P, Q, R aus?

(c) (Anleitung nach Euler:) Sind y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4} die Lösungen (in einem Zerfällungskörper über K) der Gleichung, so genügen z_{1} = −(y_{1} + y_{2})(y_{3} + y_{4}), z_{2} = −(y_{1} + y_{3})(y_{2} + y_{4}), z_{3} = −(y_{1} + y_{4})(y_{2} + y_{3}) einer Gleichung 3. Grades. Bestimmen Sie diese Gleichung. Wie drücken sich die y_{i} aus deren Lösungen z_{i} aus?

Aufgabe 80 (5 Punkte) Sei R ein Ring mit 1. Zeigen Sie:

(a) Ist M ein noetherscher R-Modul und φ : M → N ein R-Modul-Homomorphismus, so ist auch φ(M) ein noetherscher R-Modul.

(b) Sei M ein R-Modul und N ≤ M ein Unter-R-Modul. Dann gilt:

M noethersch ⟺ N und M /N beide noethersch.

(c) Sind M_{1}, …, M_{n} noethersche R-Moduln, so auch ihre direkte Summe M_{1} ⊕ ⋯ ⊕ M_{n}.

(d) Ist M ein noetherscher R-Modul und n ∈ IN_{0} , so ist auch M^{n} ein noetherscher R-Modul.

(e) Ist R ein noetherscher Ring und M ein endlich erzeugter R-Modul, so ist M ein noetherscher R-Modul.

Aufgabe 81 (3 Punkte) Berechnen Sie (z.B. durch sukzessive Resultantenbildung) alle Lösungen (über C) des Gleichungssystems

\begin{aligned}2X^{2} + 2Y^{2} − Z^{2} & = 0 \\ Y Z − 2X^{2} & = 0 \\ XY Z − 2Y^{2} & = 0 \end{aligned}

Aufgabe 82 (3 Punkte) Bestimmen Sie (z.B. mit dem Buchberger-Algorithmus) alle Lösungen (über C) des Gleichungssystems

\begin{matrix}X^{3} + 2X^{2}Y + 2Y (Y − 2)X + Y^{2} − 4 = 0 \\ X^{2} + 2XY + 2Y^{2} − 5Y + 2 = 0 \end{matrix}

Abgabe: Bis spätestens Dienstag, 12.2.1991, 11.15 Uhr in den Kasten bei Zi. 308 des Mathematikgebäudes oder in der Übung im Neuen Hörsaal.