Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 30.1.1991 Mathematisches Institut II Dr. W. Trinks

Algebra I — Übungsblatt 14

Aufgabe 72 (5 Punkte) Sei K ein Körper, f_{1}, …, f_{m} ∈ K[X] (normierte) Polynome und M der Zerfällungskörper von f := f_{1} ⋯ f_{m} über K.

(a) Zu jedem f_{i} gibt es einen Zwischenkörper L_{i} (M ≥ L_{i} ≥ K), so daß L_{i} Zerfällungskörper von f_{i} über K ist.

Sei G := Aut(M/K) und G_{i} := Aut(L_{i}/K) für i = 1, …, m.

(b) Es gibt einen injektiven Gruppenhomomorphismus α : G → G_{1} × ⋯ × G_{m}.

(c) Falls m = 2, f separabel über K und L_{1} ∩ L_{2} = K, ist G ˜= G_{1} × G_{2} .

(d) Bestimmen Sie Gal (Q (\sqrt{p_{1}}, …, \sqrt{p_{m}})/Q), wobei p_{1}, …, p_{m} paarweise verschiedene Primzahlen seien.

Aufgabe 73 (3 Punkte) Sei K ein Körper mit char(K) ≠ 2, 3, f(X) = X^{3} + aX^{2} + bX + c ∈ K[X] irreduzibel und M der Zerfällungskörper von f über K. Zeigen Sie:

Gal (M/K) ˜= \{ \begin{matrix}Z_{3} & falls die Diskriminante D(f) ein Quadrat in K ist \\ S_{3} & sonst \end{matrix}\}

Drücken Sie D(f) als Polynom in a, b, c aus.

Aufgabe 74 (5 Punkte) Sei K ein Körper mit char(K) ≠ 2 und f(X) = X^{4} + pX^{2} + q ∈ K[X].

(a) f irreduzibel über K ⟺ p^{2} − 4q, −p + 2\sqrt{q}, −p − 2\sqrt{q} sind keine Quadrate in K.

(b) Ist f irreduzibel über K, so gilt für den Zerfällungskörper M von f über K:

Gal (M/K) ˜= \{ \begin{matrix}V_{4} & falls q ein Quadrat in K ist \\ Z_{4} & falls q · (p^{2} − 4q) ein Quadrat in K ist \\ D_{4} & sonst \end{matrix}\}

* Aufgabe 75 (4 Punkte)

Gegeben seien drei (nichtentartete) Kreise in der Ebene, von denen keiner einen anderen schneide oder im Innern eines anderen liege. Zeigen Sie:

(a) Man kann mit Zirkel und Lineal einen Greis (:= Kreis oder Gerade) konstruieren, der die drei Kreise berührt.

(b) Es gibt höchstens 8 solche Greise.

Aufgabe 76 (5 Punkte)

* (a) Für vier aufeinanderfolgende Ecken A, B, C, D eines regelmäßigen n-Ecks (in der Ebene) gilt

\frac{1}{\overline{AB}} = \frac{1}{\overline{AC}} + \frac{1}{\overline{AD}}

genau dann, wenn n = 7.

(b) Das regelmäßige 7-Eck ist dennoch nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Was ist das Minimalpolynom von 2 cos \frac{2π}{7} über Q?

Abgabe: Bis spätestens Dienstag, 5.2.1991, 11.15 Uhr in den Kasten bei Zi. 308 des Mathematikgebäudes oder in der Übung im Neuen Hörsaal.