Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 23.1.1991 Mathematisches Institut II Dr. W. Trinks

Algebra I — Übungsblatt 13

Aufgabe 66 (2 Punkte) Bestimmen Sie den Zerfällungskörper von X^{6} + 1 über IF_{2} .

Aufgabe 67 (4 Punkte) Sei K der Zerfällungskörper des Polynoms X^{4} − 2 über Q. Zeigen Sie, daß K/Q galoissch ist. Bestimmen Sie G = Gal (K/Q), alle Untergruppen H von G und jeweils den Fixkörper K^{H}.

Aufgabe 68 (4 Punkte) (Zum Faktorisierungsalgorithmus von Cantor, Zassenhaus)

(a) Sei q eine ungerade Primzahlpotenz, f ∈ IF_{q}[X] vom Grad d. Es sei bekannt, daß f das Produkt von j verschiedenen (normierten) Primpolynomen vom Grad i ist, d = i · j, j > 1. Zeigen Sie, daß bei gleichverteilter zufälliger Auswahl von b(X) = b_{0} + b_{1}X + ⋯ + b_{d−1}X^{d−1} ∈ IF_{q}[X]

für c(X) := b(X)^{\frac{q^{i}−1}{2}}

f(X) ≈ ggT(c(X) − 1, f(X)) · ggT(c(X), f(X)) · ggT(c(X) + 1, f(X))

mit Wahrscheinlichkeit > \frac{1}{2} eine nichttriviale Faktorisierung von f(X) ist.

(b) Wie berechnet man ggT (f(X), X^{q^{n}} − X) (grad(f) = d ≤ n) mit höchstens O (n · d^{2} · (log q)^{2}) Bitoperationen?

(c) Bestimmen Sie eine Quadratwurzel von 122 ∈ IF_{257} .

Aufgabe 69 (3 Punkte) (”Hauptsatz über symmetrische Polynome“) Ist R ein kommutativer Ring mit 1 und sind in R[X_{1}, …, X_{n}]

\begin{aligned}S_{1} & = X_{1} + ⋯ + X_{n} \\ S_{k} & = ∑_{1≤i_{1}<...<i_{k}≤n} X_{i_{1}} ⋯ X_{i_{k}}  (1 ≤ k ≤ n) \\ S_{n} & = X_{1} ⋯ X_{n} \end{aligned}

die elementarsymmetrischen Polynome in X_{1}, …, X_{n}, so sind die Polynome ∈ R[X_{1}, …, X_{n}], die unter allen Permutationen der X_{1}, …, X_{n} invariant sind, genau die Polynome ∈ R[S_{1}, …, S_{n}]. (Hinweis zu ”⇒“: Versuchen Sie den ”Grad“ des Polynoms ∈ R[X_{1}, …, X_{n}] zu verringern, wobei der ”Grad“ von X_{1}^{m_{1}} ⋯ X_{n}^{m_{n}} zu (m_{1}, …, m_{n}) festgelegt sei und Grade ∈ IN_{0}^{n} mit der lexikographischen Ordnung verglichen werden.)

Aufgabe 70 (7 Punkte) Für n ∈ IN, n > 0 sei das n-te Kreisteilungspolynom Φ_{n} definiert durch

Φ_{n}(X) := ∏_{k∈( ZZ / nZZ)^{×}} (X − e^{\frac{2kπi}{n}} ) ∈ C[X]

Zeigen Sie:

(a) Die Nullstellen von Φ_{n} in C sind genau die primitiven n-ten Einheitswurzeln, und grad(Φ_{n}) = φ(n).

(b) ∏_{d | n} Φ_{d}(X) = X^{n} − 1.

(c) Φ_{n}(X) ∈ ZZ[X].

(d) Ist p eine Primzahl, so gilt Φ_{np}(X) = \{ \begin{matrix}Φ_{n}(X^{p}) & falls p | n \\ \frac{Φ_{n}(X^{p})}{Φ_{n}(X)} & falls p/ |n \end{matrix}\}. Berechnen Sie Φ_{n}(X) für 1 ≤ n ≤ 12.

* (e) Φ_{n}(X) ist in Q[X] irreduzibel.

(Hinweis: Benutzen Sie, daß für Primzahlen p/ |n gilt Φ_{n}(X) | Φ_{n}(X^{p}).)

(f) Q(ζ_{n}) mit ζ_{n} = e^{\frac{2πi}{n}} ist eine galoissche Körpererweiterung von Q, und Gal (Q(ζ_{n})/Q) ˜= (ZZ/nZZ)^{×}.

Aufgabe 71 (4 Punkte) Für n ∈ IN, n > 0 sei

F_{n} := \begin{aligned}⌊ & \frac{n−1}{2} & ⌋ \\ & ∏ \\ & k=1 \end{aligned} (3 + 2 cos \frac{2kπ}{n} )

(a) F_{n} ∈ Q.

(b) F_{n} ∈ ZZ.

* (c) Können Sie eine ”geschlossene Formel“ für die F_{n} angeben?

Abgabe: Bis spätestens Dienstag, 29.1.1991, 11.15 Uhr in den Kasten bei Zi. 308 des Mathematikgebäudes oder in der Übung im Neuen Hörsaal.