Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 16.1.1991 Mathematisches Institut II Dr. W. Trinks

Algebra I — Übungsblatt 12

Notation: Ist L ≥ K eine Körpererweiterung, so bezeichne [L : K] = (L/K) den Körpergrad.

Aufgabe 60 (4 Punkte) Sei L ≥ K eine Körpererweiterung.

(a) [L : K] < ∞ ⇒ L ist algebraisch über K.

Die Umkehrung gilt nicht.

(b) Es gilt [L : K] < ∞ genau dann, wenn es endlich viele über K algebraische Elemente α_{1}, …, α_{m} ∈ L mit L = K(α_{1}, …, α_{m}) gibt.

Aufgabe 61 (4 Punkte) Sei L = K(α) eine einfach algebraische Erweiterung.

(a) Ist M mit L ≥ M ≥ K ein Zwischenkörper und f_{α,M}(X) = c_{d}X^{d} + ⋯ + c_{0}X^{0} das (normierte) Minimalpolynom von α über M, so gilt M = K(c_{d}, …, c_{0}).

(b) Die Körpererweiterung L/K hat höchstens 2^{[L:K]−1} Zwischenkörper.

Aufgabe 62 (5 Punkte) Sei K := Q(\sqrt{2}, \sqrt{3}).

(a) Bestimmen Sie n := [K : Q] und eine Q-Basis (b_{1}, …, b_{n}) von K.

(b) Geben Sie zu jedem α = a_{1}b_{1} + ⋯ + a_{n}b_{n} ∈ K \ \{0\} das Inverse \frac{1}{α} in Basisdarstellung an.

(c) Bestimmen Sie Darstellungsmatrix, Norm und Spur (bezüglich K/Q) von \sqrt{2} + \sqrt{3} ∈ K.

(d) Zeigen Sie: K = Q (\sqrt{2} + \sqrt{3}).

* (e) Wieviele Zwischenkörper L (K ≥ L ≥ Q) gibt es?

Aufgabe 63 (2 Punkte)

Schreiben Sie in Q(\sqrt[5]{2}) die Zahl \frac{1 + 6 · (\sqrt[5]{2})^{3} + 4 · (\sqrt[5]{2})^{6}}{4 + 2 · \sqrt[5]{2} − (\sqrt[5]{2})^{2}} als Q-Linearkombination von 1, \sqrt[5]{2}, …, (\sqrt[5]{2})^{4} .

Aufgabe 64 (1 Punkte) Ist K ein Körper, R ein Ring mit 1 und φ : K → R ein Ringhomomorphismus, so ist entweder φ injektiv oder φ = 0.

* Aufgabe 65 (5 Punkte)

Sei q eine Primzahlpotenz.

(a) Sei f ∈ IF_{q}[X] normiert und irreduzibel. Dann gilt:

f(X) | X^{q^{n}} − X ⟺ grad(f) | n

(b) Sei I_{d} := {f ∈ IF_{q}[X] : f normiert, f irreduzibel, grad(f) = d}.

Dann gilt für n ∈ IN: X^{q^{n}} − X = ∏_{d | n} ∏_{f∈I_{d}} f(X).

(c) Bestimmen Sie #I_{d}.

Abgabe: Bis spätestens Dienstag, 22.1.1991, 11.15 Uhr in den Kasten bei Zi. 308 des Mathematikgebäudes oder in der Übung im Neuen Hörsaal.