Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 9.1.1991 Mathematisches Institut II Dr. W. Trinks

Algebra I — Übungsblatt 11

Aufgabe 54 (1 Punkte) Für die Darstellungen D über C einer endlichen abelschen Gruppe G gilt: D irreduzibel ⟺ D eindimensional.

Aufgabe 55 (2=1+1 Punkte) Für eine Gruppe G sei G′ := ⟨xyx^{−1}y^{−1} | x, y ∈ G⟩ die Kommutatorgruppe von G.

(a) G′ ist ein Normalteiler von G, und G/G′ ist eine abelsche Gruppe.

(b) Ist G eine endliche Gruppe, so gibt es genau (G : G′) Darstellungen D : G → GL_{1}(C).

Aufgabe 56 (4 Punkte) Sei G eine endliche Gruppe, C_{1}, …, C_{r} ihre Konjugationsklassen, jeweils τ_{i} ∈ C_{i} und χ_{1}, …, χ_{r} die irreduziblen Charaktere über C von G.

Für i = 1, …, r seien c_{i} := ∑_{g∈C_{i}} g ∈ C[G] und e_{i} := \frac{χ_{i}(1)}{#G} · ∑_{j=1}^{r} χ_{i} (τ_{j}^{−1}) · c_{j} ∈ C[G]. Zeigen Sie:

(a) Die e_{i} liegen im Zentrum von C[G] (d.h. kommutieren mit allen Elementen von C[G]).

(b) Die e_{i} sind ”orthogonale Idempotente“, d.h. e_{i} · e_{j} = 0 für i ≠ j und e_{i}^{2} = e_{i}, und es gilt ∑_{i=1}^{r} e_{i} = 1.

Aufgabe 57 (2 Punkte) Sei G eine endliche Gruppe und g ∈ G. Zeigen Sie: g ist genau dann zu g^{−1} konjugiert, wenn für alle irreduziblen Charaktere χ über C von G gilt χ(g) ∈ IR.

Aufgabe 58 (4 = \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} + 2 Punkte) Eine endliche Gruppe G habe die folgende Charaktertafel:

C_{1} C_{2} C_{3} C_{4}  C_{5}
χ_{1}  1 1 1  1  1
χ_{2}  3 −1 0 \frac{1−\sqrt{5}}{2} \frac{1+\sqrt{5}}{2}
χ_{3}  3 −1 0 \frac{1+\sqrt{5}}{2} \frac{1−\sqrt{5}}{2}
χ_{4}  4 0 1 −1  −1
χ_{5}  5 1 −1 0  0

Bestimmen Sie:

(a) #G,

(b) alle #C_{i},

(c) #G′.

* (d) Ist G einfach?

Aufgabe 59 (12 = 1+2+2+4+1+2 Punkte) R sei ein kommutativer Ring mit 1, f(X) = a_{n}X^{n} + ⋯ + a_{0}X^{0} ∈ R[X] und g(X) = b_{m}X^{m} + ⋯ + b_{0}X^{0} ∈ R[X] Polynome, n, m ∈ IN_{0} .

Res_{n,m} (f, g) := det ( \begin{matrix}a_{n} & ⋯ & ⋯ & a_{0} & & 0 \\ & ... & & & ... \\ 0 & & a_{n} & ⋯ & ⋯ & a_{0} \\ b_{m} & ⋯ & ⋯ & b_{0} & & 0 \\ & ... & & & ... \\ 0 & & b_{m} & ⋯ & ⋯ & b_{0} \end{matrix} ) \} m Zeilen \} n Zeilen ∈ R

heißt Resultante von f und g (oft auch als Res(f, g) oder – wenn man die Variable X hervorheben will – als Res_{X}(f, g) bezeichnet). Zeigen Sie:

(a) Es gibt Polynome u, v ∈ R[X] mit grad(u) < m und grad(v) < n und Res_{n,m} (f, g) = u · f + v · g, oder n = m = 0.

(b) Ist R ein Körper, so sind äquivalent: (i) Res_{n,m} (f, g) = 0. (ii) Es gibt Polynome u, v ∈ R[X], nicht beide = 0, mit grad(u) < m und grad(v) < n und u·f = v·g. (iii) f und g haben einen nichtkonstanten Primfaktor gemeinsam, oder a_{n} = b_{m} = 0, und zusätzlich

¬(n = m = 0).

(c) Haben f und g die Gestalt f(X) = a_{n} · ∏_{i=1}^{n} (X − α_{i}) und g(X) = b_{m} · ∏_{j=1}^{m} (X − β_{j}), so gilt

Res_{n,m} (f, g) = a_{n}^{m} · b_{m}^{n} · ∏_{i=1}^{n} ∏_{j=1}^{m} (α_{i} − β_{j})

= a_{n}^{m} · ∏_{i=1}^{n} g(α_{i})

= b_{m}^{n} · ∏_{j=1}^{m} (−1)^{n}f(β_{j})

(d) Es gelten die Rechenregeln (i) Res_{n,m} (f, g) = (−1)^{n·m} · Res_{m,n} (g, f) (ii) m = 0 ⇒ Res_{n,m} (f, g) = b_{m}^{n} (iii) n = 0 ⇒ Res_{n,m} (f, g) = a_{n}^{m} (iv) Res_{n,m+1} (f, g) = a_{n} · Res_{n,m} (f, g)

(v) Res_{n+1,m} (f, g) = (−1)^{m}b_{m} · Res_{n,m} (f, g)

(vi) n ≥ m, h ∈ R[X], grad(h) ≤ n − m ⇒ Res_{n,m} (f, g) = Res_{n,m} (f − h · g, g)

(vii) Res_{n,m_{1}+m_{2}} (f, g_{1} · g_{2}) = Res_{n,m_{1}} (f, g_{1}) · Res_{n,m_{2}} (f, g_{2})

(viii) Res_{n_{1}+n_{2},m} (f_{1} · f_{2}, g) = Res_{n_{1},m} (f_{1}, g) · Res_{n_{2},m} (f_{2}, g)

* (ix) Ist h(X) = c_{d}X^{d} + ⋯ + c_{0}X^{0} ∈ R[X] ein weiteres Polynom, und bezeichnet f ∘ h das Polynom

f(h(X)), so gilt Res_{n·d,m·d} (f ∘ h, g ∘ h) = (c_{d}^{n·m} · Res_{n,m} (f, g))^{d}.

(e) Berechnen Sie für f(X) = X^{2} + pX + q und g(X) = f′(X) die Resultante Res(f, g).

(f) (Konstruktives Rechnen mit algebraischen Zahlen) Sei L ein Körper (z.B. C) und R ein Unterring (mit 1) von L (z.B. ZZ oder Q). Sind α, β ∈ L ganzalgebraisch über R, mit f(α) = 0, g(β) = 0 (f, g normierte Polynome ∈ R[X] vom Grad n bzw. m, so gilt

(i) für h(X) := Res_{Y} (f(Y), g(X − Y)) : h(α + β) = 0, (ii) für h(X) := Res_{Y} (f(Y), Y^{m} · g (\frac{X}{Y} )) : h(α · β) = 0, und in beiden Fällen ist h ein normiertes Polynom ∈ R[X] vom Grad n · m.

(Hinweis: Viele der Aussagen brauchen nur für R = C gezeigt zu werden; ihre Gültigkeit im Fall R = ZZ[A_{0}, …, A_{n}, B_{0}, …, B_{m}] folgt mit dem Koeffizientenvergleichssatz, und dann allgemein durch einen Einsetzungshomomorphismus ZZ[A_{0}, …, A_{n}, B_{0}, …, B_{m}] → R.)

Abgabe: Bis spätestens Dienstag, 15.1.1991, 11.15 Uhr in den Kasten bei Zi. 308 des Mathematikgebäudes oder in der Übung im Neuen Hörsaal.